No 2
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
FVR 11.3
Montrons d'abord que les g, convergent uniformément dans 1 vers une
fonction continue g. Par hypothèse, pour tout E > O, il existe un ensemble
M E 8 tel que, pour deux indices quelconques a, fi appartenant à M, on ait
jlf,(x) - fB(x) 1 1 ,< E pour tout x E 1 ; on a par suite (1, p. 23, th. 2)
en désignant par 1 la longueur de 1 ; comme par hypothèse g,(a) tend vers une
limite suivant 8, il résulte du critère de Cauchy que les g, convergent uniformément dans 1. Reste à voir que la limite g des g , est une primitive de f.
Pour tout entier n > O, soit cc, un indice tel que jlf (x) - fEn(x) 1 1 6 l l n dans 1 ;
il est clair que la suite (f,,) converge uniformément vers f et que la suite (gNn)
converge uniformément vers g dans 1. Soit H, la partie dénombrable de 1 où fEn
n'est pas la dérivée de gun, et soit H la réunion des H,, qui est donc une partie
dénombrable de 1 ; nous allons voir qu'en tout point x E 1 n'appartenant pas à
H, g admet une dérivée égale à f (x). En effet, on voit comme ci-dessus que pour
tout m 3 n et tout y E 1, on a
En faisant croître m indéfiniment, on a aussi
pour tout y E 1 ; or, il existe h > O tel que, pour 1 y - xl 6 h ct y E 1, on ait
Ilg,.,,(y) - g,,(x) - fWacn(x) ( y - X ) II Q 1 y - xlln; comme d'autre part, on a
Ilf ( x ) - f,,(x) 1 1 < lln, on obtient finalement
pour y E 1 et 1 y - xl G h, ce qui achève la démonstration.
COROLLAIRE 1. - L)ensemble Z des applications de 1 dans E qui admettent une primitive
dans un intervalle 1 est un sous-espace vectoriel fermé (donc complet) de l'espace vectoriel complet %,(I; E ) des applications de 1 dans E, muni de la tolopogie de la convergence uniforme
dans toute partie compacte de 1 (TG, X , p. 4).
COROLLAIRE 2. - Soit x0 un point de 1, et pour chaque fonction f E Z, soit P ( f ) la
primitive de f qui s'annule au point xo; l'application f H P ( f ) de Z dans e ( I ; E ) est une
application linéaire continue.
Le cor. 1 du th. 1 permet d'établir l'existence de primitives de certaines
catégories de fonctions par le procédé suivant: si on sait que les fonctions appartenant à une partie d de F c ( I ; E) admettent une primitive, il en sera de même
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
FVR 11.3
Montrons d'abord que les g, convergent uniformément dans 1 vers une
fonction continue g. Par hypothèse, pour tout E > O, il existe un ensemble
M E 8 tel que, pour deux indices quelconques a, fi appartenant à M, on ait
jlf,(x) - fB(x) 1 1 ,< E pour tout x E 1 ; on a par suite (1, p. 23, th. 2)
en désignant par 1 la longueur de 1 ; comme par hypothèse g,(a) tend vers une
limite suivant 8, il résulte du critère de Cauchy que les g, convergent uniformément dans 1. Reste à voir que la limite g des g , est une primitive de f.
Pour tout entier n > O, soit cc, un indice tel que jlf (x) - fEn(x) 1 1 6 l l n dans 1 ;
il est clair que la suite (f,,) converge uniformément vers f et que la suite (gNn)
converge uniformément vers g dans 1. Soit H, la partie dénombrable de 1 où fEn
n'est pas la dérivée de gun, et soit H la réunion des H,, qui est donc une partie
dénombrable de 1 ; nous allons voir qu'en tout point x E 1 n'appartenant pas à
H, g admet une dérivée égale à f (x). En effet, on voit comme ci-dessus que pour
tout m 3 n et tout y E 1, on a
En faisant croître m indéfiniment, on a aussi
pour tout y E 1 ; or, il existe h > O tel que, pour 1 y - xl 6 h ct y E 1, on ait
Ilg,.,,(y) - g,,(x) - fWacn(x) ( y - X ) II Q 1 y - xlln; comme d'autre part, on a
Ilf ( x ) - f,,(x) 1 1 < lln, on obtient finalement
pour y E 1 et 1 y - xl G h, ce qui achève la démonstration.
COROLLAIRE 1. - L)ensemble Z des applications de 1 dans E qui admettent une primitive
dans un intervalle 1 est un sous-espace vectoriel fermé (donc complet) de l'espace vectoriel complet %,(I; E ) des applications de 1 dans E, muni de la tolopogie de la convergence uniforme
dans toute partie compacte de 1 (TG, X , p. 4).
COROLLAIRE 2. - Soit x0 un point de 1, et pour chaque fonction f E Z, soit P ( f ) la
primitive de f qui s'annule au point xo; l'application f H P ( f ) de Z dans e ( I ; E ) est une
application linéaire continue.
Le cor. 1 du th. 1 permet d'établir l'existence de primitives de certaines
catégories de fonctions par le procédé suivant: si on sait que les fonctions appartenant à une partie d de F c ( I ; E) admettent une primitive, il en sera de même