FVR 11.2
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
$ 1
Si en outre g admet en tout point x de 1 une dérivée égale à f ( x ) , on dira que g est
une primitive stricte de f.
Avec cette définition, on voit que la fonction numérique f considérée ci-dessus
admet une primitive égale à 1x1.
11 est clair que, si f admet une primitive dans 1, toute primitive de f est aussi
une primitive de toute fonction égale à f sauf aux points d'une partie dénombrable de 1. Bar abus de langage, on peut parler d'une primitive dans 1 d'une
fonction fo définie seulement dans le complémentaire (par rapport à 1) d'une
partie dénombrable de 1 : il s'agira de la primitive de toute fonction f définie dans
1, et égale à fo aux points où fo est définie.
PROPOSITION 1. - Soit f une fonction vectorielle d$nie dans 1, à valeurs dans E ; si f
admet une primitive g dans 1, I'ensemble des primitives de f dans 1 est identique à l'ensemble
des fonctions g + a, où a est une fonction constante, à valeurs dans E.
En effet, il est clair que g + a est une primitive de f quel que soit a E E;
d'autre part, si g1 est une primitive de f, gl - g admet une dérivée égale à O
sauf aux points d'une partie dénombrable de 1, donc est constante (1, p. 24,
corollaire).
O n dit que les primitives d'une fonction f (lorsqu'elles existent) sont définies
G à une constante additive près r) . Pour définir sans ambiguïté une primitive de f,
il sufit de se donner (arbitrairement) sa valeur en un point x, E 1; en particulier,
il existe une primitive et une seule g de f telle que g(xo) = O; pour toute primitive ln de f, on a g(x) = h(x) - h(x,).
2. Existence des primitives
Soit f une fonction définie dans un intervalle quelconque 1 c R; pour qu'une
fonction g définie dans 1 soit une primitive de f, il faut et il suffit que la restriction
de g à tout intervalle compact J c 1 soit une primitive de la restriction de f à J.
THÉORÈME 1. - Soient A un ensemblejltré par unjltre 8, (f,),,, une famille de fonctions
v~ctorielles à valeurs dans un espace normé complet E sur R, d@nies dans un intervalle 1 c IR;
pour tout a E A, soit g, une primitiue de f,. On suppose que :
l0 suivant lejltre 8, les fonctions f, convergent uniformément dans tout partie compacte
de 1 vers une fonction f;
2 O il existe un point a E 1 tel que, suivant lejltre 8, la famille (g,(a)) a une limite dans
E.
Dans ces conditions, les fonctions g, convergent uniformément (suivant 8) dans toute
partie compacte de 1, vers une primitive . g de f.
D'après la remarque du dCbut de ce no, nous pouvons nous borner au cas où I
est un intervalle compact.
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
$ 1
Si en outre g admet en tout point x de 1 une dérivée égale à f ( x ) , on dira que g est
une primitive stricte de f.
Avec cette définition, on voit que la fonction numérique f considérée ci-dessus
admet une primitive égale à 1x1.
11 est clair que, si f admet une primitive dans 1, toute primitive de f est aussi
une primitive de toute fonction égale à f sauf aux points d'une partie dénombrable de 1. Bar abus de langage, on peut parler d'une primitive dans 1 d'une
fonction fo définie seulement dans le complémentaire (par rapport à 1) d'une
partie dénombrable de 1 : il s'agira de la primitive de toute fonction f définie dans
1, et égale à fo aux points où fo est définie.
PROPOSITION 1. - Soit f une fonction vectorielle d$nie dans 1, à valeurs dans E ; si f
admet une primitive g dans 1, I'ensemble des primitives de f dans 1 est identique à l'ensemble
des fonctions g + a, où a est une fonction constante, à valeurs dans E.
En effet, il est clair que g + a est une primitive de f quel que soit a E E;
d'autre part, si g1 est une primitive de f, gl - g admet une dérivée égale à O
sauf aux points d'une partie dénombrable de 1, donc est constante (1, p. 24,
corollaire).
O n dit que les primitives d'une fonction f (lorsqu'elles existent) sont définies
G à une constante additive près r) . Pour définir sans ambiguïté une primitive de f,
il sufit de se donner (arbitrairement) sa valeur en un point x, E 1; en particulier,
il existe une primitive et une seule g de f telle que g(xo) = O; pour toute primitive ln de f, on a g(x) = h(x) - h(x,).
2. Existence des primitives
Soit f une fonction définie dans un intervalle quelconque 1 c R; pour qu'une
fonction g définie dans 1 soit une primitive de f, il faut et il suffit que la restriction
de g à tout intervalle compact J c 1 soit une primitive de la restriction de f à J.
THÉORÈME 1. - Soient A un ensemblejltré par unjltre 8, (f,),,, une famille de fonctions
v~ctorielles à valeurs dans un espace normé complet E sur R, d@nies dans un intervalle 1 c IR;
pour tout a E A, soit g, une primitiue de f,. On suppose que :
l0 suivant lejltre 8, les fonctions f, convergent uniformément dans tout partie compacte
de 1 vers une fonction f;
2 O il existe un point a E 1 tel que, suivant lejltre 8, la famille (g,(a)) a une limite dans
E.
Dans ces conditions, les fonctions g, convergent uniformément (suivant 8) dans toute
partie compacte de 1, vers une primitive . g de f.
D'après la remarque du dCbut de ce no, nous pouvons nous borner au cas où I
est un intervalle compact.