CHAPITRE II
Primitives et intégrales
§ 1. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
Sauf mention expresse du contraire, nous ne considérerons, dans ce chapitre, que
des fonctions vectorielles d'une variable réelle, prenant leurs valeurs dans un
espace normé complet sur R. Lorsqu'il s'agit en particulier de fonctions numériques, il est donc toujours sous-entendu que ces fonctions sont Jinies si le contraire
n'est pas spécifié.
1. Définition des primitives
Une fonction vectorielle f, définie dans un intervalle 1 c R, ne peut être en
toutpoint de cet intervalle la dérivée d'une fonction vectorielle g (définie et continue
dans 1) que si elle satisfait à des conditions assez restrictives: par exemple, si f
admet une limite à droite et une limite à gauche en un point x, intérieur à 1, f doit
être continue au point x,, d'après la prop. 6 de 1, p. 26; il en résulte que, si on
prend pour 1 l'intervalle ( - 1, + 1)' pour f la fonction numérique égale à - 1
dans ( - 1, O(, à -I- 1 dans (O, 1), f n'est pas la dérivée d'une fonction continue
dans 1 ; toutefois, la fonction 1x1 a pour dérivée f (x) en tout point # O; on est
ainsi conduit à poser la définition suivante :
DÉFINITION 1. - Etant donnée une fonction vectorielle f, d@nie dans un intervalle 1 c HP,
on dit qu'une fonction g déJinie dans 1 est une primitive de f si g est continue dans I et admet
une dérivée égale à f (x) en tout point x du complémeataire (par rapport à 1) d'une partie
dénombrable de 1.
Primitives et intégrales
§ 1. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
Sauf mention expresse du contraire, nous ne considérerons, dans ce chapitre, que
des fonctions vectorielles d'une variable réelle, prenant leurs valeurs dans un
espace normé complet sur R. Lorsqu'il s'agit en particulier de fonctions numériques, il est donc toujours sous-entendu que ces fonctions sont Jinies si le contraire
n'est pas spécifié.
1. Définition des primitives
Une fonction vectorielle f, définie dans un intervalle 1 c R, ne peut être en
toutpoint de cet intervalle la dérivée d'une fonction vectorielle g (définie et continue
dans 1) que si elle satisfait à des conditions assez restrictives: par exemple, si f
admet une limite à droite et une limite à gauche en un point x, intérieur à 1, f doit
être continue au point x,, d'après la prop. 6 de 1, p. 26; il en résulte que, si on
prend pour 1 l'intervalle ( - 1, + 1)' pour f la fonction numérique égale à - 1
dans ( - 1, O(, à -I- 1 dans (O, 1), f n'est pas la dérivée d'une fonction continue
dans 1 ; toutefois, la fonction 1x1 a pour dérivée f (x) en tout point # O; on est
ainsi conduit à poser la définition suivante :
DÉFINITION 1. - Etant donnée une fonction vectorielle f, d@nie dans un intervalle 1 c HP,
on dit qu'une fonction g déJinie dans 1 est une primitive de f si g est continue dans I et admet
une dérivée égale à f (x) en tout point x du complémeataire (par rapport à 1) d'une partie
dénombrable de 1.