FVR 1.54
pôles (contenus dans (- 1, Il), f est convexe pour x < c, et concave pour x > c,. En déduire
que lorsque a parcourt [ - 1, 11, la longueur du plus grand intervalle contenant les zéros de
la dérivée k-ème dc (x - a)P(x) atteint sa plus grande valeur lorsque a = 1 ou a = - 1.
25) O n dit qu'une fonction numérique f définie dans [O. +CD( est suradditive si l'on a
f (x + y) > f (x) + f (y) pour x 2 0, y 2 O, et f (O) = O.
a) Donncr dcs exemples de fonctions suradditives discontinues.
b) Montrer que toute fonction f convexe dans (O, -t CO( et tellc quc f (O) = O est suradditive.
c) Si f, et f, sont suradditives, il en est de même de inf (f,, f,) ; en déduire des exemples de
fonctions continues suradditives et non convexes.
d ) Si f est coniinue et > O dans un intcrvalle [O, a) ( a > O), tellc que f (O) = O et
f (x/n) < f (x)/n pour tout entier n 2 1, montrer que f admet une dérivée à droite au point O
(raisonner par l'absurde). En particulier toute fonction continue suradditive et 2 O admet
une dérivée à droite au point O.