§ 4
EXERCICES
FVR 1.53
* 16) Soient f une fonction positive convexe dans )O, +a(, a et b deux nombres réels
quelconques. Montrer que la fonction xaf ( x - ~ ) est convexe dans 10, +CO(, dans les cas
suivants :
1' a = +(b + l), Ibl a 1,
2" xaf (xbb) croissante, a(b - a) 2 O, a à $(b + 1);
3' xaf ( x - ~ ) décroissante, a(b - a) 3 O, a < +(b + 1).
Dans les mêmes hypothèses surf, montrer que exI2f (e-") est convexe (utiliser l'exerc. 2
de 1, p. 51). ,
17) Soient f et g deux fonctions positives convexes dans un intervalle 1 = [a, b); on suppose
qu'il existe un nombre c E 1 tel que, dans chacun des intervalles (a, c) et (c, b), f et g varient
dans le même sens. Montrer que le produit fg est convexe dans 1.
18) Soit f une fonction convexe dans un intervalle 1 c R, g une fonction convexe et croissante dans un intervalle contenant f (1) ; montrer que g of est convexe dans 1.
7 19) Soient f et g deux fonctions numériques finies, f étant définie et continue dans un
intervalle 1, g définie et continue dans R. O n suppose que, pour tout couple (A, p) de nombres
réels, g( f (x) + hw + p) soit convexe dans 1.
a) Montrer aue P est convexe et monotone dans R.
A
"
b) S i g est croissante (resp. décroissante) dans R, montrer que f est convexe (resp. concave)
dans 1 (utiliser la prop. 7).
20) Montrer que l'ensemble IY des fonctions convexes dans un intervalle 1 # W est un
ensemble réticulé pour la relation d'ordre <( quel que soit x E 1, f (x) < g(x) o (E, III, p. 13).
Donner un exemple de deux fonctions f, g convexes dans 1 dont la borne inférieure dans
P prend en certains points une valeur distincte de inf (f (x), g(x)). Donner un exemple
d'une famille infinie (f,) de fonctions de IY telle que inf f,(x) soit fini en tout point x E 1,
a
mais telle qu'il n'existe aucune fonction de IY inférieure à toutes les fa.
21) Soit f une fonction numérique finie, semi-continue supérieurement dans un intervalle
ouvert 1 c R. Pour que f soit strictement convexe dans 1, il faut et il suffit qu'il n'existe
aucune droite localement au-dessus du graphe G de f en un point de G.
22) Soient f,, . . ., f, des fonctions convexes continues dans un intervalle compact 1 c
suppose que pour tout x E 1, on ait sup (h(x)) 3 O. Montrer qu'il existe n nombres cc, 3 O
tek que 5 E, = 1 et que l'on ait 5 u&(x) a O dans 1. (Traiter d'abord le cas n = 2 en
5 = 1
j = l
considérant un point xo où l'enveloppe supérieure sup( f,, f2) atteint son minimum; lorsque
xo est intérieur à 1, déterminer GC, de façon que la dérivée à gauche de ccl fi + (1 - u,) fi au
point xo soit nulle. Passer de là au cas général en raisonnant par récurrence sur n; utiliser
l'hypothèse de récurrence pour les restrictions de fl, . . ., fn-, à l'intervalle compact où
f n b ) $ 0.)
23) Soit f une fonction numérique continue dans un intervalle compact I c II%; parmi les
fonctions g < f qui sont convexes dans 1, il en existe une plus grande que toutes les autres go.
Soit F c 1 l'ensemble des x E 1 tels que g,(x) = f (x) ; montrer que F n'est pas vide, et que
dans chacun des intervalles ouverts contigus à F, go est égale à une fonction linéaire affine
(raisonner par l'absurde).
24) Soit P(x), un polynôme de degré n à coefficients réels dont toutes les racines sont réelles
et contenues dans l'intervalle (- 1, 1). Soit k un entier tel que 1 $ k $ n. Montrer que la
fonction rationnelle
est croissante dans tout intervalle de R où elle est définie; si cl < c2 < . < c, sont ses
EXERCICES
FVR 1.53
* 16) Soient f une fonction positive convexe dans )O, +a(, a et b deux nombres réels
quelconques. Montrer que la fonction xaf ( x - ~ ) est convexe dans 10, +CO(, dans les cas
suivants :
1' a = +(b + l), Ibl a 1,
2" xaf (xbb) croissante, a(b - a) 2 O, a à $(b + 1);
3' xaf ( x - ~ ) décroissante, a(b - a) 3 O, a < +(b + 1).
Dans les mêmes hypothèses surf, montrer que exI2f (e-") est convexe (utiliser l'exerc. 2
de 1, p. 51). ,
17) Soient f et g deux fonctions positives convexes dans un intervalle 1 = [a, b); on suppose
qu'il existe un nombre c E 1 tel que, dans chacun des intervalles (a, c) et (c, b), f et g varient
dans le même sens. Montrer que le produit fg est convexe dans 1.
18) Soit f une fonction convexe dans un intervalle 1 c R, g une fonction convexe et croissante dans un intervalle contenant f (1) ; montrer que g of est convexe dans 1.
7 19) Soient f et g deux fonctions numériques finies, f étant définie et continue dans un
intervalle 1, g définie et continue dans R. O n suppose que, pour tout couple (A, p) de nombres
réels, g( f (x) + hw + p) soit convexe dans 1.
a) Montrer aue P est convexe et monotone dans R.
A
"
b) S i g est croissante (resp. décroissante) dans R, montrer que f est convexe (resp. concave)
dans 1 (utiliser la prop. 7).
20) Montrer que l'ensemble IY des fonctions convexes dans un intervalle 1 # W est un
ensemble réticulé pour la relation d'ordre <( quel que soit x E 1, f (x) < g(x) o (E, III, p. 13).
Donner un exemple de deux fonctions f, g convexes dans 1 dont la borne inférieure dans
P prend en certains points une valeur distincte de inf (f (x), g(x)). Donner un exemple
d'une famille infinie (f,) de fonctions de IY telle que inf f,(x) soit fini en tout point x E 1,
a
mais telle qu'il n'existe aucune fonction de IY inférieure à toutes les fa.
21) Soit f une fonction numérique finie, semi-continue supérieurement dans un intervalle
ouvert 1 c R. Pour que f soit strictement convexe dans 1, il faut et il suffit qu'il n'existe
aucune droite localement au-dessus du graphe G de f en un point de G.
22) Soient f,, . . ., f, des fonctions convexes continues dans un intervalle compact 1 c
suppose que pour tout x E 1, on ait sup (h(x)) 3 O. Montrer qu'il existe n nombres cc, 3 O
tek que 5 E, = 1 et que l'on ait 5 u&(x) a O dans 1. (Traiter d'abord le cas n = 2 en
5 = 1
j = l
considérant un point xo où l'enveloppe supérieure sup( f,, f2) atteint son minimum; lorsque
xo est intérieur à 1, déterminer GC, de façon que la dérivée à gauche de ccl fi + (1 - u,) fi au
point xo soit nulle. Passer de là au cas général en raisonnant par récurrence sur n; utiliser
l'hypothèse de récurrence pour les restrictions de fl, . . ., fn-, à l'intervalle compact où
f n b ) $ 0.)
23) Soit f une fonction numérique continue dans un intervalle compact I c II%; parmi les
fonctions g < f qui sont convexes dans 1, il en existe une plus grande que toutes les autres go.
Soit F c 1 l'ensemble des x E 1 tels que g,(x) = f (x) ; montrer que F n'est pas vide, et que
dans chacun des intervalles ouverts contigus à F, go est égale à une fonction linéaire affine
(raisonner par l'absurde).
24) Soit P(x), un polynôme de degré n à coefficients réels dont toutes les racines sont réelles
et contenues dans l'intervalle (- 1, 1). Soit k un entier tel que 1 $ k $ n. Montrer que la
fonction rationnelle
est croissante dans tout intervalle de R où elle est définie; si cl < c2 < . < c, sont ses