est finie, il en est de même de a = lim f (x)/x, que la droite y = ax + P est asymptote1 au
X + + 02
graphe def, et est située au-dessous de ce graphe (strictement au-dessous si f est strictement
convexe).
8) Soit f une fonction numérique finie, semi-continue supérieurement dans un intervalle
ouvert 1 c %a. Pour que f soit convexe dans 1, il faut et il suffit que, pour tout x E 1, on ait
lin1 sup f (x + h) + f (x - h) - 2f (2)
h2
> O. (Démontrer d'abord que, pour tout E > 0,
h + O . h + O
.
~
f (x) + ex2 est convexe, en utilisant la prop. 9 de 1, p. 39).
7 9j Soit f une fonction numérique finie, semi-continue inférieurement dans un intervalle
1 c W. Pour que f soit convexe dans 1, il suffit que, pour tout couple de points a, b de 1 tels
que a < b, il existe un point z tel que a < z < 6, et que M, soit au-dessous du segment M,Mb
(raisonner par l'absurde, en remarquant que l'ensemble des points x tels que Mx soit strictement au-dessus de MaMb est ouvert).
9j 10) Soit f une fonction numkrique finie définie dans un intervalle 1 c R, telle que
quels que soient x, y dans 1. Montrer que, si f est bornée supérieurement dans un intcrvalle
ouvert )a, 6( contenu dans 1, f est convexe dans 1 (on montrera d'abord que f est bornée
supérieurement dans tout intervalle compact contenu dans 1, puis que f est continue en tout
point intérieur à 1).
7 11) Soit f une fonction continue dans un intervalle ouvert 1 c W, admettant en tout point
de 1 une dérivée à droite finie. Si, pour tout x e I et tout y E 1 tel que y > x, le point M, =
(y, f (y)) est au-dessus de la demi-tangente à droite au point Mx = (x, f (x)) du graphe
d e 5 montrer que f est convexe dans 1 (en utilisant le th. des accroissements finis, montrer
que l'on a fi (y) 2 f (9) - f (' ) pour x < y).
u - x
.,
Donner un exemple de fonction non convexe, ayant en tout point une dérivée à droite
h i e , et telle que pour tout x E 1, il existe un nombre 11, > O dépendant de x, que M, soit
au-dessus de la demi-tangente à droite au point Mx pour tout y tel que x
y < x + h,.
Cette dernière condition est toutefois suffisante pour que f soit convexe, si on suppose en
outre que f est dérivable dans 1 (utiliser 1 , p. 20, corollaire).
7 12) Soit f une fonction numérique continue dans un intervalle ouvert 1 c IR; on suppose
que, pour tout couple (a, b) de points de I tel que a < b, le graphe de f soit tout entier audessus ou tout entier au-dessous du segment M,Mb dans l'intervalle (a, 6). Montrer que f est
convexe dans tout 1 ou concave dans tout 1 (si, dans )a, 6(, il existe un point c tel que Mc
soit strictement au-dessus d u segment M,Mb montrer que pour tout x E I tel que x > a, le
graphe de f est au-dessus du segmcnt MaMx dans l'intervalle (a, x)).
13) Soit f une fonction numérique dérivable dans un intervalle ouvert 1 c R. O n suppose
que, pour tout couple (a, b) de points de 1 tels que a < 6, il existe un seul point c E )a, 6( tel
que f ( b ) - f (a) = (6 - a)f'(c); montrer que f est strictement convexe dans 1 ou strictement concave dans 1 (montrer que f' est strictement monotone dans 1).
14) Soit f une fonction numérique convexe et strictement monotone dans un intervalle
ouvert 1 c R; soit g la fonction réciproque de f (définie dans l'intervalle f (1)). Montrer
que si f est décroissante (resp. croissante) dans 1, g est convexe (resp. concave) dans f (1).
15) Soit 1 un intervalle contenu dans )O, + co[; montrer que, si f (llx) est convexe dans 1, il
en est de même de x f (x), et réciproquement.
C'est-à-dire que Lm ( f (x) - (ax +- P)) = 0.
x + + m
X + + 02
graphe def, et est située au-dessous de ce graphe (strictement au-dessous si f est strictement
convexe).
8) Soit f une fonction numérique finie, semi-continue supérieurement dans un intervalle
ouvert 1 c %a. Pour que f soit convexe dans 1, il faut et il suffit que, pour tout x E 1, on ait
lin1 sup f (x + h) + f (x - h) - 2f (2)
h2
> O. (Démontrer d'abord que, pour tout E > 0,
h + O . h + O
.
~
f (x) + ex2 est convexe, en utilisant la prop. 9 de 1, p. 39).
7 9j Soit f une fonction numérique finie, semi-continue inférieurement dans un intervalle
1 c W. Pour que f soit convexe dans 1, il suffit que, pour tout couple de points a, b de 1 tels
que a < b, il existe un point z tel que a < z < 6, et que M, soit au-dessous du segment M,Mb
(raisonner par l'absurde, en remarquant que l'ensemble des points x tels que Mx soit strictement au-dessus de MaMb est ouvert).
9j 10) Soit f une fonction numkrique finie définie dans un intervalle 1 c R, telle que
quels que soient x, y dans 1. Montrer que, si f est bornée supérieurement dans un intcrvalle
ouvert )a, 6( contenu dans 1, f est convexe dans 1 (on montrera d'abord que f est bornée
supérieurement dans tout intervalle compact contenu dans 1, puis que f est continue en tout
point intérieur à 1).
7 11) Soit f une fonction continue dans un intervalle ouvert 1 c W, admettant en tout point
de 1 une dérivée à droite finie. Si, pour tout x e I et tout y E 1 tel que y > x, le point M, =
(y, f (y)) est au-dessus de la demi-tangente à droite au point Mx = (x, f (x)) du graphe
d e 5 montrer que f est convexe dans 1 (en utilisant le th. des accroissements finis, montrer
que l'on a fi (y) 2 f (9) - f (' ) pour x < y).
u - x
.,
Donner un exemple de fonction non convexe, ayant en tout point une dérivée à droite
h i e , et telle que pour tout x E 1, il existe un nombre 11, > O dépendant de x, que M, soit
au-dessus de la demi-tangente à droite au point Mx pour tout y tel que x
y < x + h,.
Cette dernière condition est toutefois suffisante pour que f soit convexe, si on suppose en
outre que f est dérivable dans 1 (utiliser 1 , p. 20, corollaire).
7 12) Soit f une fonction numérique continue dans un intervalle ouvert 1 c IR; on suppose
que, pour tout couple (a, b) de points de I tel que a < b, le graphe de f soit tout entier audessus ou tout entier au-dessous du segment M,Mb dans l'intervalle (a, 6). Montrer que f est
convexe dans tout 1 ou concave dans tout 1 (si, dans )a, 6(, il existe un point c tel que Mc
soit strictement au-dessus d u segment M,Mb montrer que pour tout x E I tel que x > a, le
graphe de f est au-dessus du segmcnt MaMx dans l'intervalle (a, x)).
13) Soit f une fonction numérique dérivable dans un intervalle ouvert 1 c R. O n suppose
que, pour tout couple (a, b) de points de 1 tels que a < 6, il existe un seul point c E )a, 6( tel
que f ( b ) - f (a) = (6 - a)f'(c); montrer que f est strictement convexe dans 1 ou strictement concave dans 1 (montrer que f' est strictement monotone dans 1).
14) Soit f une fonction numérique convexe et strictement monotone dans un intervalle
ouvert 1 c R; soit g la fonction réciproque de f (définie dans l'intervalle f (1)). Montrer
que si f est décroissante (resp. croissante) dans 1, g est convexe (resp. concave) dans f (1).
15) Soit 1 un intervalle contenu dans )O, + co[; montrer que, si f (llx) est convexe dans 1, il
en est de même de x f (x), et réciproquement.
C'est-à-dire que Lm ( f (x) - (ax +- P)) = 0.
x + + m