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EXERCICES
FVR 1.51
b) O n suppose qu'il existe u n nombre C tel que lna,l < C pour tout n, et que la suite
(d2)/n), formke des moyennes arithmétiques 1 (so + . . . + ~ , , - ~ ) / n
des sommes partielles
s, = a. + o . - + a,-=, tend vers une limite o. Montrer que la série de terme général a, est
convergente et a pour somme o (a théorème taubérien de Hardy-Littlewood ))). (Ecrire
où Irnl est majoré à l'aide de l'inégalité jna, l < C, et h est choisi convenablement en fonction de n.)
1 ) a) Soit H u n ensemble de fonctions convexes dans u n intervalle compact (a, b) c R; o n
suppose que les ensembles H(a) et H(b) sont majorés dans R et qu'il existe u n point c tel
que a < c < b et que H(c) soit minoré dans R; montrer que H est u n ensemble équicontinu
dans )a, b( (TG, X , p. 10).
b) Soit H u n ensemble de fonctions convexes dans u n intervalle 1 c R, et soit 8 u n filtre
sur H qui converge simplement dans 1 vers une fonction f o ; montrer que 8 converge uniformément vers fo dans tout intervalle compact contenu dans 1.
2) Montrer que toute fonction f convexe dans u n intervalle compact 1 c R est limite d'une
suite décroissante uniformément convergente de fonctions convexes dans 1 admettant une
dérivée seconde dans 1 (considérer d'abord la fonction ( x - a) +, et approcher f par la
-
somme d'une fonction linéaire affine et d'une combinaison linéaire 2 c,(x - ai) + à coefficients cf 2 0).
3) Soit f une fonction convexe dans u n intervalle 1 c R.
a) Montrer que si f n'est pas constante, elle ne peut atteindre sa borne supérieure en u n point
intérieur à 1.
b ) Montrer que si 1 est relativement compact dans R, f est minorée dans 1.
c) Montrer que si 1 = R et si f n'est pas constante, f n'est pas majorée dans 1.
4) Pour qu'une fonction f soit convexe dans u n intervalle compact (a, b) c R, il faut et il
suffit qu'elle soit convexe dans )a, b( et que l'on ait f (a) 3 f (a+) et f (b) 3 f ( b - ) .
5) Soit f une fonction convexe dans l'intervalle ouvert )a, + a ( ; s'il existe u n point c > a tel
que, dans )c, + a ( , f soit strictement croissante, on a lim f ( x ) = + m .
x + + m
6 ) Soit f une fonction convexe dans u n intervalle )a, + a ( ; montrer que f (x)/x a une limite
(finie ou égale à + co) lorsque x tend vers + co ; cette limite est aussi celle de f i ( x ) et de
f i ( x ) ; elle est >O si f (x) tend vers + co lorsque x tend vers + W .
7) Soit f une fonction convexe dans l'intervalle )a, b( où a 2 O ; montrer que dans cet intervalle, la fonction x H f ( x ) - xf'(x) ((( ordonnée à l'origine )) de la demi-tangente à droite
au point x au graphe de f ) est décroissante (strictement décroissante si f est strictement
convexe).
En déduire que:
a) Si f admet une limite à droite finie au point a, (x - a ) f i ( x ) a une limite à droite égale à
O en ce point.
b) Dans )a, b(, ou bien f (x)/x est croissante, ou bien f (x)/x est décroissante, ou bien il
existe c E )a, b( tel que f (x)/x soit décroissante dans )a, c( et croissante dans )c, b(.
c) O n suppose que b = + co; montrer que, si
EXERCICES
FVR 1.51
b) O n suppose qu'il existe u n nombre C tel que lna,l < C pour tout n, et que la suite
(d2)/n), formke des moyennes arithmétiques 1 (so + . . . + ~ , , - ~ ) / n
des sommes partielles
s, = a. + o . - + a,-=, tend vers une limite o. Montrer que la série de terme général a, est
convergente et a pour somme o (a théorème taubérien de Hardy-Littlewood ))). (Ecrire
où Irnl est majoré à l'aide de l'inégalité jna, l < C, et h est choisi convenablement en fonction de n.)
1 ) a) Soit H u n ensemble de fonctions convexes dans u n intervalle compact (a, b) c R; o n
suppose que les ensembles H(a) et H(b) sont majorés dans R et qu'il existe u n point c tel
que a < c < b et que H(c) soit minoré dans R; montrer que H est u n ensemble équicontinu
dans )a, b( (TG, X , p. 10).
b) Soit H u n ensemble de fonctions convexes dans u n intervalle 1 c R, et soit 8 u n filtre
sur H qui converge simplement dans 1 vers une fonction f o ; montrer que 8 converge uniformément vers fo dans tout intervalle compact contenu dans 1.
2) Montrer que toute fonction f convexe dans u n intervalle compact 1 c R est limite d'une
suite décroissante uniformément convergente de fonctions convexes dans 1 admettant une
dérivée seconde dans 1 (considérer d'abord la fonction ( x - a) +, et approcher f par la
-
somme d'une fonction linéaire affine et d'une combinaison linéaire 2 c,(x - ai) + à coefficients cf 2 0).
3) Soit f une fonction convexe dans u n intervalle 1 c R.
a) Montrer que si f n'est pas constante, elle ne peut atteindre sa borne supérieure en u n point
intérieur à 1.
b ) Montrer que si 1 est relativement compact dans R, f est minorée dans 1.
c) Montrer que si 1 = R et si f n'est pas constante, f n'est pas majorée dans 1.
4) Pour qu'une fonction f soit convexe dans u n intervalle compact (a, b) c R, il faut et il
suffit qu'elle soit convexe dans )a, b( et que l'on ait f (a) 3 f (a+) et f (b) 3 f ( b - ) .
5) Soit f une fonction convexe dans l'intervalle ouvert )a, + a ( ; s'il existe u n point c > a tel
que, dans )c, + a ( , f soit strictement croissante, on a lim f ( x ) = + m .
x + + m
6 ) Soit f une fonction convexe dans u n intervalle )a, + a ( ; montrer que f (x)/x a une limite
(finie ou égale à + co) lorsque x tend vers + co ; cette limite est aussi celle de f i ( x ) et de
f i ( x ) ; elle est >O si f (x) tend vers + co lorsque x tend vers + W .
7) Soit f une fonction convexe dans l'intervalle )a, b( où a 2 O ; montrer que dans cet intervalle, la fonction x H f ( x ) - xf'(x) ((( ordonnée à l'origine )) de la demi-tangente à droite
au point x au graphe de f ) est décroissante (strictement décroissante si f est strictement
convexe).
En déduire que:
a) Si f admet une limite à droite finie au point a, (x - a ) f i ( x ) a une limite à droite égale à
O en ce point.
b) Dans )a, b(, ou bien f (x)/x est croissante, ou bien f (x)/x est décroissante, ou bien il
existe c E )a, b( tel que f (x)/x soit décroissante dans )a, c( et croissante dans )c, b(.
c) O n suppose que b = + co; montrer que, si