FVR 1.50
DÉRIVÉES
5 3
7 15) Soit 1 u n intervalle ouvert de R, f une fonction vectorielle définie et continue dans 1;
on suppose qu'il existe n fonctions vectorielles g, ( 1 < i < n) définies dans 1, et telles que la
fonction de x
tende unijlormément vers O dans tout intervalle compact contenu dans 1, lorsque h tend vers O.
a) O n pose fp(x, h) = APf ( x ; h, h, . . ., h) (1, p. 46, exerc. 6). Montrer que pour 1 < fi < n,
(l/hp)fp(x, h) tend unijhmément vers gp(x) dans tout intervalle compact contenu dans 1,
lorsque h tend vers O, et que les g, sont des fonctions continues dans 1 (le démontrer successivement pour fi = n, fi = n - 1, etc.).
b) En déduire que f possède dans 1 une dérivée n-ème continue et qu'on a f ( P ) = g, pour
1 < p < n (tenir compte de la relation f p + ,(x, h) = f ( x + h, h) - fp(x, h)).
7 16) Soit f une fonction numérique n fois dérivable dans 1 = )- 1, + 1(, et telle que
1 f (x) 1 < 1 dans cet intervalle.
a) Montrer que, si mk(h) désigne le minimum de 1 f ( k ) ( x ) 1 dans u n intervalle de longueur h
contenu dans 1, on a
( O n remarquera que si l'intervalle de longueur h est décomposé en trois intervalles de
longueurs a, P, y, on a
b) Déduire de a) qu'il existe u n nombre p, ne dépendant que de l'entier n, tel que, si
If'(0) 1 2 p, , la dérivée f ( n ) ( x ) s'annule en au moins n - 1 points distincts de 1 (montrer par
récurrence sur k que f") s'annule au moins k - 1 fois dans 1).
17) a) Soit f une fonction vectorielle ayant des dérivées de tous ordres dans u n intervalle
ouvert 1 c R. O n suppose que, dans 1, on ait llf(n)(x) II < a. n!rn, où a et r sont deux nombres
>O indépendants de x et de n; montrer qu'en tout point x,, la <( série de Taylor )), de terme
général (l/n!)f(n)(xo) ( x - x , ) ~ est convergente et a pour somme f (x) dans u n voisinage de xo.
b) Inversement, si la série de Taylor de f en u n point xo converge dans u n voisinage de xo, il
existe deux nombres a et r (dépendant de x,) tels que Ilf(n)(xo) II < a.n!rn pour tout entier
n > 0.
c ) Déduire de a) et de l'exerc. 16 b) que si, dans u n intervalle ouvert 1 c R, une fonction
numérique f est indéfiniment dérivable et s'il existe u n entier fi indépendant de n tel que,
pour tout n, f ( n ) ne s'annule pas en plus de fi points distincts de 1, alors la série de Taylor de f
au voisinage de tout point xo E 1 est convergente et a pour somme f (x) en tout point d'un
voisinage de xo.
18) Soit (a,) une suite quelconque de nombres complexes. O n pose, pour tout n 2 0,
si0) = a,, et on définit par récurrence, pour k 2 0,
a) Prouver la a formule de Taylor pour les suites v: pour tout entier
(procéder par récurrence sur k ) .
DÉRIVÉES
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7 15) Soit 1 u n intervalle ouvert de R, f une fonction vectorielle définie et continue dans 1;
on suppose qu'il existe n fonctions vectorielles g, ( 1 < i < n) définies dans 1, et telles que la
fonction de x
tende unijlormément vers O dans tout intervalle compact contenu dans 1, lorsque h tend vers O.
a) O n pose fp(x, h) = APf ( x ; h, h, . . ., h) (1, p. 46, exerc. 6). Montrer que pour 1 < fi < n,
(l/hp)fp(x, h) tend unijhmément vers gp(x) dans tout intervalle compact contenu dans 1,
lorsque h tend vers O, et que les g, sont des fonctions continues dans 1 (le démontrer successivement pour fi = n, fi = n - 1, etc.).
b) En déduire que f possède dans 1 une dérivée n-ème continue et qu'on a f ( P ) = g, pour
1 < p < n (tenir compte de la relation f p + ,(x, h) = f ( x + h, h) - fp(x, h)).
7 16) Soit f une fonction numérique n fois dérivable dans 1 = )- 1, + 1(, et telle que
1 f (x) 1 < 1 dans cet intervalle.
a) Montrer que, si mk(h) désigne le minimum de 1 f ( k ) ( x ) 1 dans u n intervalle de longueur h
contenu dans 1, on a
( O n remarquera que si l'intervalle de longueur h est décomposé en trois intervalles de
longueurs a, P, y, on a
b) Déduire de a) qu'il existe u n nombre p, ne dépendant que de l'entier n, tel que, si
If'(0) 1 2 p, , la dérivée f ( n ) ( x ) s'annule en au moins n - 1 points distincts de 1 (montrer par
récurrence sur k que f") s'annule au moins k - 1 fois dans 1).
17) a) Soit f une fonction vectorielle ayant des dérivées de tous ordres dans u n intervalle
ouvert 1 c R. O n suppose que, dans 1, on ait llf(n)(x) II < a. n!rn, où a et r sont deux nombres
>O indépendants de x et de n; montrer qu'en tout point x,, la <( série de Taylor )), de terme
général (l/n!)f(n)(xo) ( x - x , ) ~ est convergente et a pour somme f (x) dans u n voisinage de xo.
b) Inversement, si la série de Taylor de f en u n point xo converge dans u n voisinage de xo, il
existe deux nombres a et r (dépendant de x,) tels que Ilf(n)(xo) II < a.n!rn pour tout entier
n > 0.
c ) Déduire de a) et de l'exerc. 16 b) que si, dans u n intervalle ouvert 1 c R, une fonction
numérique f est indéfiniment dérivable et s'il existe u n entier fi indépendant de n tel que,
pour tout n, f ( n ) ne s'annule pas en plus de fi points distincts de 1, alors la série de Taylor de f
au voisinage de tout point xo E 1 est convergente et a pour somme f (x) en tout point d'un
voisinage de xo.
18) Soit (a,) une suite quelconque de nombres complexes. O n pose, pour tout n 2 0,
si0) = a,, et on définit par récurrence, pour k 2 0,
a) Prouver la a formule de Taylor pour les suites v: pour tout entier
(procéder par récurrence sur k ) .