§ 3
EXERCICES
FVR 1.49
non), et si Mo = sup Ilf(x) 11 et M2 = sup /If (x) I I sont finis, il en est de même de M, =
X E 1
X E 1
sup jlf'(x) Il, et on a :
X E 1
- -
Ml < ~IM,M, si 1 a une longueur a 2
Montrer que, dans ces deux inégalités, les nombres 2 et 4 2 rcspectivement ne peuvent
être remplacés par des nombres plus petits (considérer d'abord le cas où on suppose seulement que f admet une dérivée secondc à droitc, et montrer que dans cc cas les deux membres
des inégalités précédentes peuvent devenir égaux, en prenant poui f une fonction numériqiic
égale <( par morceaux >) à des polynômes du second degré).
c) Déduire de b) que si f estp fois dérivable dans R, et si M, = sup Iif(P)(x) 11 et Mo = sup jjf (x)II
.Y s R.
x e n
sont finis, chacun des nombres M, = sup IlW(x) // est fini pour 1 < k < p - 1, ct on a
x e H .
7 13) a) Soit f une fonction numérique deux fois dérivable dans R, et telle que l'on ait
(f (x))" < a et ( f ' ( ~ ) ) ~
f ( f " ( ~ ) ) ~
6 b dans R; montrer qu'on a
( f ( 4 ) " + (f'(x))2 < m 4 a , b)
dans R (raisonner par l'absurde, en remarquant que si la fonction f + y2 prend une valeur
c > max(a, b) en un point xo, i. cxiste deux points x,, x2 tels que x, < xo < x2 et qu'en
xl et x2 la fonction f' prenne des valeurs assez petites pour que f 2 + y2 prenne des
valeurs < c ; considérer alors un point de (xl, x,) oùJ2 + y2 atteint sa borne supérieure
dans cet intervalle).
b) Soit f une fonction numérique n fois dérivable dans Pa, et teile que l'on ait ( f ( x ) ) ~ < a et
(f("-"(x))" + ( f(n)(x))2 < b dans R; montrer que l'on a
(f ("-l)(x))"
(f ("'(x))"
max(a, b)
dans R pour 1 < k < n. (Raisonner par récurrence sur n; remarquer que, d'après l'exerc. 12,
la borne supérieure c de ( f ' ( ~ ) ) ~
dans IR est finie; montrer qu'on a nécessaircment
c < max(a, b) en raisonnant par l'absurde: dans l'hypothèse où c > max(a, b), choisir les
constantes A et p. de sorte que pour la fonction g = A f + p., on ait 1 g(x) 1 < l , / gf(x) 1 < 1, mais
qu'on ne puisse avoir ( g ( ~ ) ) ~
+
< 1 pour tout x).
7 14) Soit f une fonction n - 1 fois dérivable dans un intervalle 1 contenant O, et soit fn la
fonction vectorielle définie pour x # O dans 1 par la relation
a) Montrer que si f admet une dérivée (n + p)-ème au point O, fn admet une dérivée fi-ème
au point O et une dérivée (n + p - 1)-ème en tout point d'un voisinage de O distinct de O; en
k !
outrc, on a fik)(0) = - - - . f(n+k'(0) pour O < k < p, ct f$'+k)(x). xk tend vers O avec x,
(n + k ) !
pour 1 6 k < n - 1 (exprimer les dérivées de f n à l'aide des développements de Taylor des
dérivées successives de f, et utiliser la prop. 6 de 1, p. 26).
b) Inversement, soit f n une fonction vectorielle admettant une dérivée (n + p - 1)-ème
dans un voisinage de O dans 1, ct telle que f$'+Ic'(x). x" tende vers une limite pour
O < k < n - 1. Montrer que la fonction f,(x) . xn admet une dérivée (n + p - 1)-èmc
dans 1; si en outre f, admet une d6rivi.c p-ème au point O, f,(x). xn admet une dkrivée
( n + p)-ème au point O.
c) O n suppose 1 symétrique par rapport à O, et f paire (f(-x) = f (x) dans 1). Montrer, à
l'aide de a) que, si f est Zn fois dérivable dans 1, il existe une fonction g définie et n fois
dérivable dans 1 , telle que E(x) = g(x2) dans 1.
EXERCICES
FVR 1.49
non), et si Mo = sup Ilf(x) 11 et M2 = sup /If (x) I I sont finis, il en est de même de M, =
X E 1
X E 1
sup jlf'(x) Il, et on a :
X E 1
- -
Ml < ~IM,M, si 1 a une longueur a 2
Montrer que, dans ces deux inégalités, les nombres 2 et 4 2 rcspectivement ne peuvent
être remplacés par des nombres plus petits (considérer d'abord le cas où on suppose seulement que f admet une dérivée secondc à droitc, et montrer que dans cc cas les deux membres
des inégalités précédentes peuvent devenir égaux, en prenant poui f une fonction numériqiic
égale <( par morceaux >) à des polynômes du second degré).
c) Déduire de b) que si f estp fois dérivable dans R, et si M, = sup Iif(P)(x) 11 et Mo = sup jjf (x)II
.Y s R.
x e n
sont finis, chacun des nombres M, = sup IlW(x) // est fini pour 1 < k < p - 1, ct on a
x e H .
7 13) a) Soit f une fonction numérique deux fois dérivable dans R, et telle que l'on ait
(f (x))" < a et ( f ' ( ~ ) ) ~
f ( f " ( ~ ) ) ~
6 b dans R; montrer qu'on a
( f ( 4 ) " + (f'(x))2 < m 4 a , b)
dans R (raisonner par l'absurde, en remarquant que si la fonction f + y2 prend une valeur
c > max(a, b) en un point xo, i. cxiste deux points x,, x2 tels que x, < xo < x2 et qu'en
xl et x2 la fonction f' prenne des valeurs assez petites pour que f 2 + y2 prenne des
valeurs < c ; considérer alors un point de (xl, x,) oùJ2 + y2 atteint sa borne supérieure
dans cet intervalle).
b) Soit f une fonction numérique n fois dérivable dans Pa, et teile que l'on ait ( f ( x ) ) ~ < a et
(f("-"(x))" + ( f(n)(x))2 < b dans R; montrer que l'on a
(f ("-l)(x))"
(f ("'(x))"
max(a, b)
dans R pour 1 < k < n. (Raisonner par récurrence sur n; remarquer que, d'après l'exerc. 12,
la borne supérieure c de ( f ' ( ~ ) ) ~
dans IR est finie; montrer qu'on a nécessaircment
c < max(a, b) en raisonnant par l'absurde: dans l'hypothèse où c > max(a, b), choisir les
constantes A et p. de sorte que pour la fonction g = A f + p., on ait 1 g(x) 1 < l , / gf(x) 1 < 1, mais
qu'on ne puisse avoir ( g ( ~ ) ) ~
+
< 1 pour tout x).
7 14) Soit f une fonction n - 1 fois dérivable dans un intervalle 1 contenant O, et soit fn la
fonction vectorielle définie pour x # O dans 1 par la relation
a) Montrer que si f admet une dérivée (n + p)-ème au point O, fn admet une dérivée fi-ème
au point O et une dérivée (n + p - 1)-ème en tout point d'un voisinage de O distinct de O; en
k !
outrc, on a fik)(0) = - - - . f(n+k'(0) pour O < k < p, ct f$'+k)(x). xk tend vers O avec x,
(n + k ) !
pour 1 6 k < n - 1 (exprimer les dérivées de f n à l'aide des développements de Taylor des
dérivées successives de f, et utiliser la prop. 6 de 1, p. 26).
b) Inversement, soit f n une fonction vectorielle admettant une dérivée (n + p - 1)-ème
dans un voisinage de O dans 1, ct telle que f$'+Ic'(x). x" tende vers une limite pour
O < k < n - 1. Montrer que la fonction f,(x) . xn admet une dérivée (n + p - 1)-èmc
dans 1; si en outre f, admet une d6rivi.c p-ème au point O, f,(x). xn admet une dkrivée
( n + p)-ème au point O.
c) O n suppose 1 symétrique par rapport à O, et f paire (f(-x) = f (x) dans 1). Montrer, à
l'aide de a) que, si f est Zn fois dérivable dans 1, il existe une fonction g définie et n fois
dérivable dans 1 , telle que E(x) = g(x2) dans 1.