FvR 1.10
INTRODUCTION
est un espace vectoriel sur K muni d'une topologie telle que les fonctions x + y et
xt soient continues dans E x E et dans E x K respectivement; une telle topologie
est en particulier compatible avec la structure de groupe additif de E. Lorsque le
groupe topologique E est complet, on dit que l'espace vectoriel topologique E est
complet. Tout espace vectoriel normé sur un corps valué K (TG, IX, p. 31)l est un
espace vectoriel topologique sur K.
Soit E un espace vectoriel (muni ou non d'une topologie) sur le corps R des
nombres réels; si x, y sont deux points quelconques de E, on appelle segment
fermé d'extrémités x, y l'ensemble des points x t + y ( l - t ) lorsque t parcourt
l'intervalle fermé (0, 1) de R. On dit qu'une partie A de E est convexe si, quels
que soient les points x, y de A, le segment fermé d'extrémités x et y est contenu
dans A. Par exemple, une variété linéaire affine est convexe; il en est de même
d'un segment fermé; dans Rn, un parallélotope (TG, VI, p. 3) est convexe.
Toute intersection d'ensembles convexes est un ensemble convexe.
On dit qu'un espace vectoriel topologique E sur le corps R est localement
convexe si l'origine (et par suite tout point de E) possède un système fondamental
de voisinages convexes. Tout espace normé E sur R est localement convexe; en effet,
les boules llxll < r ( r > O) forment un système fondamental de voisinages de O
dans E, et chacune d'elles est un ensemble convexe, car les relations llxll < r,
llyll < r entraînent
pour O < t < 1. En particulier, les espaces numériques Rn sont localement
convexes.
Enfin, une algèbre topologique A sur un corps topologique (commutatif) K est une
algèbre sur K munie d'une topologie telle que les fonctions x + y, xy et x t soient
continues dans A x A, A x A et A x K respectivement; lorsqu'on munit seulement A de sa topologie et de sa structure d'espace vectoriel sur K, A est donc un
espace vectoriel topologique. Toute algèbre normée sur un corps vabé K (TG, IX,
p. 37) est une algèbre topologique sur K.
l On rappelle qu'une norme sur E est une fonction numérique llxll définie dans E, à valeurs
finies et 3 O, telle que la relation llxll = O soit équivalente à x = O et qu'on ait
IIx + YII < ll~ll + llrll et llxtll = Ilxll.ltl
pour tout t E K (Itl étant la valeur absolue de t dans K).
INTRODUCTION
est un espace vectoriel sur K muni d'une topologie telle que les fonctions x + y et
xt soient continues dans E x E et dans E x K respectivement; une telle topologie
est en particulier compatible avec la structure de groupe additif de E. Lorsque le
groupe topologique E est complet, on dit que l'espace vectoriel topologique E est
complet. Tout espace vectoriel normé sur un corps valué K (TG, IX, p. 31)l est un
espace vectoriel topologique sur K.
Soit E un espace vectoriel (muni ou non d'une topologie) sur le corps R des
nombres réels; si x, y sont deux points quelconques de E, on appelle segment
fermé d'extrémités x, y l'ensemble des points x t + y ( l - t ) lorsque t parcourt
l'intervalle fermé (0, 1) de R. On dit qu'une partie A de E est convexe si, quels
que soient les points x, y de A, le segment fermé d'extrémités x et y est contenu
dans A. Par exemple, une variété linéaire affine est convexe; il en est de même
d'un segment fermé; dans Rn, un parallélotope (TG, VI, p. 3) est convexe.
Toute intersection d'ensembles convexes est un ensemble convexe.
On dit qu'un espace vectoriel topologique E sur le corps R est localement
convexe si l'origine (et par suite tout point de E) possède un système fondamental
de voisinages convexes. Tout espace normé E sur R est localement convexe; en effet,
les boules llxll < r ( r > O) forment un système fondamental de voisinages de O
dans E, et chacune d'elles est un ensemble convexe, car les relations llxll < r,
llyll < r entraînent
pour O < t < 1. En particulier, les espaces numériques Rn sont localement
convexes.
Enfin, une algèbre topologique A sur un corps topologique (commutatif) K est une
algèbre sur K munie d'une topologie telle que les fonctions x + y, xy et x t soient
continues dans A x A, A x A et A x K respectivement; lorsqu'on munit seulement A de sa topologie et de sa structure d'espace vectoriel sur K, A est donc un
espace vectoriel topologique. Toute algèbre normée sur un corps vabé K (TG, IX,
p. 37) est une algèbre topologique sur K.
l On rappelle qu'une norme sur E est une fonction numérique llxll définie dans E, à valeurs
finies et 3 O, telle que la relation llxll = O soit équivalente à x = O et qu'on ait
IIx + YII < ll~ll + llrll et llxtll = Ilxll.ltl
pour tout t E K (Itl étant la valeur absolue de t dans K).