INTRODUCTION
L'objet de ce Livre est l'étude élémentaire des propriétés infinitésimales des
fonctions d'une variable réelle; l'extension de ces propriétés aux fonctions de
plusieurs variables réelles, ou, à plus forte raison, à des fonctions définies dans des
espaces plus généraux, ne pourra être traitée que dans des Livres ultérieurs.
Les propriétés que nous démontrerons sont surtout utilisées lorsqu'elles se
rapportent à des fonctions numériques (finies) d'une variable réelle; mais la plupart
s'étendent sans nouveau raisonnement aux fonctions d'une variable réelle prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel de dimensionjnie sur le corps R, et plus
généralement à des fonctions prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique sur R (voir ci-dessous) ; comme ces fonctions interviennent fréquemment en
Analyse, c'est pour elles que nous énoncerons toutes les propriétés qui ne sont pas
spéciales aux fonctions numériques.
La notion d'espace vectoriel topologique, dont nous venons de parler, est
définie et étudiée en détail au Livre V de ce Traité; mais dans le présent Livre, nous
n'aurons besoin d'aucun des résultats du Livre V; seules interviendront quelques
définitions que nous allons reproduire ci-dessous pour la commodité du lecteur.
Nous ne reviendrons pas sur la définition d'une espace vectoriel sur un corps
commutatif K (A, II, p. 3) .l Un espace vectoriel topologique E sur un coqs topologique K
l Les éléments (ou vecteurs) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K seront notés
d'ordinaire dans ce chapitre par des minuscules grasses, les scalaires par des minuscules latines; le
plus souvent, nous noterons à droite le scalaire t dans le produit par t d'un vecteur x, produit qui
s'écrira donc x t ; éventuellement, nous nous permettrons toutefois d'utiliser la notation à gauche tx
dans certains cas où elle sera plus commode; nous écrirons aussi parfois le prodüit du scalaire ljt
(t + O) et du vecteur x sous la forme x/t.
L'objet de ce Livre est l'étude élémentaire des propriétés infinitésimales des
fonctions d'une variable réelle; l'extension de ces propriétés aux fonctions de
plusieurs variables réelles, ou, à plus forte raison, à des fonctions définies dans des
espaces plus généraux, ne pourra être traitée que dans des Livres ultérieurs.
Les propriétés que nous démontrerons sont surtout utilisées lorsqu'elles se
rapportent à des fonctions numériques (finies) d'une variable réelle; mais la plupart
s'étendent sans nouveau raisonnement aux fonctions d'une variable réelle prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel de dimensionjnie sur le corps R, et plus
généralement à des fonctions prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique sur R (voir ci-dessous) ; comme ces fonctions interviennent fréquemment en
Analyse, c'est pour elles que nous énoncerons toutes les propriétés qui ne sont pas
spéciales aux fonctions numériques.
La notion d'espace vectoriel topologique, dont nous venons de parler, est
définie et étudiée en détail au Livre V de ce Traité; mais dans le présent Livre, nous
n'aurons besoin d'aucun des résultats du Livre V; seules interviendront quelques
définitions que nous allons reproduire ci-dessous pour la commodité du lecteur.
Nous ne reviendrons pas sur la définition d'une espace vectoriel sur un corps
commutatif K (A, II, p. 3) .l Un espace vectoriel topologique E sur un coqs topologique K
l Les éléments (ou vecteurs) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K seront notés
d'ordinaire dans ce chapitre par des minuscules grasses, les scalaires par des minuscules latines; le
plus souvent, nous noterons à droite le scalaire t dans le produit par t d'un vecteur x, produit qui
s'écrira donc x t ; éventuellement, nous nous permettrons toutefois d'utiliser la notation à gauche tx
dans certains cas où elle sera plus commode; nous écrirons aussi parfois le prodüit du scalaire ljt
(t + O) et du vecteur x sous la forme x/t.