CHAPITRE 1
Dérivées
Ainsi qu'il a été dit dans l'Introduction, nous étudierons dans ce chapitre et le
suivant les propriétés infinitésimales des fonctions définies dans une partie du
corps R des nombres réels, et prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique E sur le corps R; nous dirons pour abréger qu'une telle fonction est une
fonction vectorielle d'une variable réelle. Le cas le plus important est celui où E = R
(fonctions numériques finies d'une variable réelle). Lorsque E = Rn, la consid3ration dlung fonction vectorielle à valeursdans E revient-à la consid&ation
-
simultanée de n fonctions numériques finies.
Beaucoup des définitions et propriétés énoncées dans le chapitre 1 s'étendent aux
fonctions définies dans une partie du corps C des nombres complexes, et prenant leurs
valeurs dans un espace vectoriel topologique sur êI (fonctions vectorielles d'une
variable complexe). Certaines de ces définitions et propriété s'étendent même aux
fonctions définies sur une partie d'un corps fofiologiyue commutatif quelconque K, et
prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique sur K.
Nous signalerons ces généralisations au passage (voir en particulier 1, p. 8,
Remarque 2), en insistant surtout sur le cas des fonctions d'une variable complexe, de
beaucoup le plus important avec celui des fonctions d'une variable réelle, et qui sera
étudié de manière plus approfondie dans un Livre ultérieur.
1. Dérivée d'une fonction vectorielle
DÉFINITION 1. - Soit f une fonction vectorielle déJinie dans un intervalle 1 c R, non
-
-
-
-
-
-
-
-
f (4 - f(_xo)
réduit à un point. On dit que f estdérjvable eB un point x, €1 si - lim - -
-
x - t x ~ , x s I , x + x ~ X - Xo
Dérivées
Ainsi qu'il a été dit dans l'Introduction, nous étudierons dans ce chapitre et le
suivant les propriétés infinitésimales des fonctions définies dans une partie du
corps R des nombres réels, et prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique E sur le corps R; nous dirons pour abréger qu'une telle fonction est une
fonction vectorielle d'une variable réelle. Le cas le plus important est celui où E = R
(fonctions numériques finies d'une variable réelle). Lorsque E = Rn, la consid3ration dlung fonction vectorielle à valeursdans E revient-à la consid&ation
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simultanée de n fonctions numériques finies.
Beaucoup des définitions et propriétés énoncées dans le chapitre 1 s'étendent aux
fonctions définies dans une partie du corps C des nombres complexes, et prenant leurs
valeurs dans un espace vectoriel topologique sur êI (fonctions vectorielles d'une
variable complexe). Certaines de ces définitions et propriété s'étendent même aux
fonctions définies sur une partie d'un corps fofiologiyue commutatif quelconque K, et
prenant leurs valeurs dans un espace vectoriel topologique sur K.
Nous signalerons ces généralisations au passage (voir en particulier 1, p. 8,
Remarque 2), en insistant surtout sur le cas des fonctions d'une variable complexe, de
beaucoup le plus important avec celui des fonctions d'une variable réelle, et qui sera
étudié de manière plus approfondie dans un Livre ultérieur.
1. Dérivée d'une fonction vectorielle
DÉFINITION 1. - Soit f une fonction vectorielle déJinie dans un intervalle 1 c R, non
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f (4 - f(_xo)
réduit à un point. On dit que f estdérjvable eB un point x, €1 si - lim - -
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x - t x ~ , x s I , x + x ~ X - Xo