FVR 1.12
DÉRIVÉES
$ 1
existe (dam l'espace vectoriel où f prend ses valeurs) ; la valeur de cette de limite s'appelle
dérivée première (ou simplement dérivée) de f au point x,, et se note f '(x,) ou Df (x,) .
Si f est dérivable au point x,, il en est de même de la restriction de f à tout
intervalle J c 1, non réduit à un point et tel que x, E J, et la dérivée de cette restriction est égale à ff(x,). Réciproquement, soit J un intervalle contenu dans 1 et
contenant un voisinage de x, par rapport à I ; si la restriction de f à J admet une
dérivée au point x,, il en est de même de f.
O n exprime ces propriétés en disant que la notion de dérivée est une notion locale.
Remarques. - * 1) En Cinématique, si le point f (t) est la position d'un point mobile
dans l'espace R3 à l'instant t, f ( t ) - * (tO) est ce qu'on appelle la vitesse moyenne du
t - to
mobile entre les instants to et t, et sa limite f1(t0) la vitesse instantanée (ou simplement
vitesse) à l'instant to (lorsque cette limite existe). ,
2) Si une fonction î, définie dans 1, est dérivable en un point xo E 1, elle est nécessairement continue par rai-port à I en ce point.
DÉFINITION 2. -Soit f une fonction vectorielle d@ie dans un intervalle 1 c R, et soit
x, un point de 1 tel que l'intervalle 1 n [x,, + K I [ (resp. 1 n ) - a , x,)) ne soit pas
réduit à un point. On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) au point xo si la restriction de f à l'intervalle 1 n (x,, +KI( (resp. 1 n ) - co, x,)) est dérivable aupoint x,;
la valeur de la dérivée de cette restriction au point x,, s'appelle dérivée à droite (resp. à
gauche) de f aupoint x,, et se note fi (x,) (resp. f i (x,)).
Soit f une fonction vectorielle définie dans 1, x, un point intérieur à 1 et tel que f
soit continue en ce point; il résulte des déf. 1 et 2 que, pour que f soit dérivable au
point x,, il faut et il suffit que f admette en ce point une dérivée à droite et une
dérivée à gauche, et que ces dérivées soient égales; on a alors
f '(x,) = (x,) = f i (x,) .
Exemfiles. - 1) Une fonction constante a en tout point une dérivée nulle.
2) Une fonction linéaire affine x ++ a x + b a en tout point une dérivée égale à a,
donc constante.
3) La fonction numérique l/x (définie pour x # 0) est dérivable en tout point
1
xo # O, car on a
- i ) / ( x - 9) = --, et comme I/x est continue au point xo,
xxo
la limite de l'expression précédente est - l/x$
4) La fonction numérique 1x1, définie dans R, admet au point x = O une dérivée
à droite égale à + 1 et une dérivée à gauche égale à - 1 ; elle n'est donc pas dérivable
en ce point.
* 5) La fonction numérique égale à O pour x = 0, à x sin I/x pour x # 0, est
définie et continue dans R, mais elle n'admet ni dérivée à droite ni dérivée à gauche
au point x = O., O n peut donner des exemples de fonctions continues dans un intervalle et n'ayant de dérivée en aucun point de l'intervalle (1, p. 42, exerc. 2 et 3).
DÉFINITION 3. - On dit qu'une fonction vectorielle f dgnie dans un intervalle 1 c R
est dérivable (resp. dérivable à droite, dérivable à gauche) dans 1 si elle est dérivable (resp.
DÉRIVÉES
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existe (dam l'espace vectoriel où f prend ses valeurs) ; la valeur de cette de limite s'appelle
dérivée première (ou simplement dérivée) de f au point x,, et se note f '(x,) ou Df (x,) .
Si f est dérivable au point x,, il en est de même de la restriction de f à tout
intervalle J c 1, non réduit à un point et tel que x, E J, et la dérivée de cette restriction est égale à ff(x,). Réciproquement, soit J un intervalle contenu dans 1 et
contenant un voisinage de x, par rapport à I ; si la restriction de f à J admet une
dérivée au point x,, il en est de même de f.
O n exprime ces propriétés en disant que la notion de dérivée est une notion locale.
Remarques. - * 1) En Cinématique, si le point f (t) est la position d'un point mobile
dans l'espace R3 à l'instant t, f ( t ) - * (tO) est ce qu'on appelle la vitesse moyenne du
t - to
mobile entre les instants to et t, et sa limite f1(t0) la vitesse instantanée (ou simplement
vitesse) à l'instant to (lorsque cette limite existe). ,
2) Si une fonction î, définie dans 1, est dérivable en un point xo E 1, elle est nécessairement continue par rai-port à I en ce point.
DÉFINITION 2. -Soit f une fonction vectorielle d@ie dans un intervalle 1 c R, et soit
x, un point de 1 tel que l'intervalle 1 n [x,, + K I [ (resp. 1 n ) - a , x,)) ne soit pas
réduit à un point. On dit que f est dérivable à droite (resp. à gauche) au point xo si la restriction de f à l'intervalle 1 n (x,, +KI( (resp. 1 n ) - co, x,)) est dérivable aupoint x,;
la valeur de la dérivée de cette restriction au point x,, s'appelle dérivée à droite (resp. à
gauche) de f aupoint x,, et se note fi (x,) (resp. f i (x,)).
Soit f une fonction vectorielle définie dans 1, x, un point intérieur à 1 et tel que f
soit continue en ce point; il résulte des déf. 1 et 2 que, pour que f soit dérivable au
point x,, il faut et il suffit que f admette en ce point une dérivée à droite et une
dérivée à gauche, et que ces dérivées soient égales; on a alors
f '(x,) = (x,) = f i (x,) .
Exemfiles. - 1) Une fonction constante a en tout point une dérivée nulle.
2) Une fonction linéaire affine x ++ a x + b a en tout point une dérivée égale à a,
donc constante.
3) La fonction numérique l/x (définie pour x # 0) est dérivable en tout point
1
xo # O, car on a
- i ) / ( x - 9) = --, et comme I/x est continue au point xo,
xxo
la limite de l'expression précédente est - l/x$
4) La fonction numérique 1x1, définie dans R, admet au point x = O une dérivée
à droite égale à + 1 et une dérivée à gauche égale à - 1 ; elle n'est donc pas dérivable
en ce point.
* 5) La fonction numérique égale à O pour x = 0, à x sin I/x pour x # 0, est
définie et continue dans R, mais elle n'admet ni dérivée à droite ni dérivée à gauche
au point x = O., O n peut donner des exemples de fonctions continues dans un intervalle et n'ayant de dérivée en aucun point de l'intervalle (1, p. 42, exerc. 2 et 3).
DÉFINITION 3. - On dit qu'une fonction vectorielle f dgnie dans un intervalle 1 c R
est dérivable (resp. dérivable à droite, dérivable à gauche) dans 1 si elle est dérivable (resp.