No 2
DÉRIVÉE PREMIÈRE
FVR 1.13
dérivable à droite, dérivable à gauche) en tout point de 1 ; la fonction x t-t fl(x) (resp.
x H f i ( x ) , x H f i (x)) déjnie dans 1, est appelée fonction dérivée ou (par abus de langage) dérivée (resp. dérivée à droite, dérivée à gauche) de f, et se note f ' ou D f ou dfldx
(resp. fi, f,' ) .
Remarque. -Une fonction peut être dtrivable dans un intervalle, sans que sa
dérivée soit continue en tout point de cet intervalle (cf. 1, p. 43, exerc. 5); * c'est ce
que montre l'exemple de la fonction égale à O pour x = 0, à x2 sin llx pour x + 0;
elle a partout une dérivée, mais cette dérivée est discontinue au point x = O. ,
2. Linéarité de la dérivation
PROPOSITION 1. - L'ensemble des fonctions vectorielles définies dans un intervalle 1 c R,
prenant leurs valeurs dans un même espace vectoriel topologique E , et dérivables au point x,,
est un espace vectoriel sur R, et f H Df (x,) est une application linéaire de cet espace dans E .
En d'autres termes, si f et g sont définies dans 1 et dérivables au point x,,
f + g et fa ( a scalaire quelconque) sont dérivables au point x,, et ont respectivement pour dérivées en ce point f'(x,) + g'(x,) et ff(x0)a. Cela résulte aussitôt de
la continuité de x + y et de x a dans E x E et dans E respectivement.
COROLLAIRE. - L'ensemble des fonctions vectorielles définies dans un intervalle 1, prenant
leurs valeurs dans un même espace vectoriel topologique E , et dérivables dans 1, est un espace
vectoriel sur R, et f H Df est une application linéaire de cet espace dans l'espace vectoriel des
applicatiom de 1 dans E.
Remarque. - Si on munit de la topologie de la convergence simple (ou de la topologie de la convergence uniforme) l'espace vectoriel des applications de 1 dans E et le
sous-espace des applications dérivables (cf. TG, X, p. 4), l'application linéaire f F+ Df
n'est pas continue en général); * par exemple, la suite des fonctions f,(x) = sin n2x/n
converge uniformément vers O dans R, mais la suite des dérivées f,'(x) = n cos nax ne
converge pas simplement vers O. ,
PROPOSITION 2. - Soient E et F deux espaces vectorie1.r topologiques sur R, u une application linéaire continue de E dans F. Si f est une fonction vectorielle définie dans un intervalle
1 c R, prenant ses valeurs dans E et dérivable au point xo E 1, la fonction composée u o f
admet au point xo une dérivée égale à u( f ' (x,) ) .
En effet, comme ~ ( f ( x ) )
- u(f(xo))
X - Xo
= u (f - ( x O ) ) ) cela résulte de la
X - Xo
continuité de u.
COROLLAIRE. - S i (P est une forme linéaire continue dans E , la fonction numérique @ O f
admet au point x, une dérivée égale à ( ~ ( f
'(x,)) .
Exemjles. - 1) Soit f = (f,),,,,, une fonction à valeurs dans Rn, définie dans un
intervalle 1 c R; chacune des fonctions numériquesf, n'est autre que la fonction
composée pr, o f, donc est dérivable au point xo si f l'est, et on a alors f'(xo) =
(f((xo))iai
DÉRIVÉE PREMIÈRE
FVR 1.13
dérivable à droite, dérivable à gauche) en tout point de 1 ; la fonction x t-t fl(x) (resp.
x H f i ( x ) , x H f i (x)) déjnie dans 1, est appelée fonction dérivée ou (par abus de langage) dérivée (resp. dérivée à droite, dérivée à gauche) de f, et se note f ' ou D f ou dfldx
(resp. fi, f,' ) .
Remarque. -Une fonction peut être dtrivable dans un intervalle, sans que sa
dérivée soit continue en tout point de cet intervalle (cf. 1, p. 43, exerc. 5); * c'est ce
que montre l'exemple de la fonction égale à O pour x = 0, à x2 sin llx pour x + 0;
elle a partout une dérivée, mais cette dérivée est discontinue au point x = O. ,
2. Linéarité de la dérivation
PROPOSITION 1. - L'ensemble des fonctions vectorielles définies dans un intervalle 1 c R,
prenant leurs valeurs dans un même espace vectoriel topologique E , et dérivables au point x,,
est un espace vectoriel sur R, et f H Df (x,) est une application linéaire de cet espace dans E .
En d'autres termes, si f et g sont définies dans 1 et dérivables au point x,,
f + g et fa ( a scalaire quelconque) sont dérivables au point x,, et ont respectivement pour dérivées en ce point f'(x,) + g'(x,) et ff(x0)a. Cela résulte aussitôt de
la continuité de x + y et de x a dans E x E et dans E respectivement.
COROLLAIRE. - L'ensemble des fonctions vectorielles définies dans un intervalle 1, prenant
leurs valeurs dans un même espace vectoriel topologique E , et dérivables dans 1, est un espace
vectoriel sur R, et f H Df est une application linéaire de cet espace dans l'espace vectoriel des
applicatiom de 1 dans E.
Remarque. - Si on munit de la topologie de la convergence simple (ou de la topologie de la convergence uniforme) l'espace vectoriel des applications de 1 dans E et le
sous-espace des applications dérivables (cf. TG, X, p. 4), l'application linéaire f F+ Df
n'est pas continue en général); * par exemple, la suite des fonctions f,(x) = sin n2x/n
converge uniformément vers O dans R, mais la suite des dérivées f,'(x) = n cos nax ne
converge pas simplement vers O. ,
PROPOSITION 2. - Soient E et F deux espaces vectorie1.r topologiques sur R, u une application linéaire continue de E dans F. Si f est une fonction vectorielle définie dans un intervalle
1 c R, prenant ses valeurs dans E et dérivable au point xo E 1, la fonction composée u o f
admet au point xo une dérivée égale à u( f ' (x,) ) .
En effet, comme ~ ( f ( x ) )
- u(f(xo))
X - Xo
= u (f - ( x O ) ) ) cela résulte de la
X - Xo
continuité de u.
COROLLAIRE. - S i (P est une forme linéaire continue dans E , la fonction numérique @ O f
admet au point x, une dérivée égale à ( ~ ( f
'(x,)) .
Exemjles. - 1) Soit f = (f,),,,,, une fonction à valeurs dans Rn, définie dans un
intervalle 1 c R; chacune des fonctions numériquesf, n'est autre que la fonction
composée pr, o f, donc est dérivable au point xo si f l'est, et on a alors f'(xo) =
(f((xo))iai