FVR 1.14
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
4 1.
* 2) En Cinématique, si f ( t ) est la position d'un mobile M à l'instant t, g ( t ) la
position au même instant de la projection M' de M sur un plan P (resp. une droite D)
parallèlement à une droite (resp. u n plan) non parallèle à P (resp. à D), g est cornposée de la projection u de R3 sur P (resp. D) et de f; comme u est une application
linéaire (continue), on voit que la projection de la vitesse d'un mobile sur un plan
(resp. une droite) est égale à la vitesse de la projection d u mobile sur le plan (resp. la
droite).,
3) Soic f une fonction à valeurs complexes, définie dans un intervalle 1 c R, et
soit a un nombre complexe quelconque; la prop. 2 montre que si f est dérivable en u n
point xo E 1, il en est de même de af, et la dérivée de cette fonction au point xo est
égale à a f ' (xo) .
3. Dérivée d'un produit
Considérons maintenant p espaces vectoriels topologiques E, (1 < i < p) sur
R, et une application multilinéairel continue (que nous noterons
( x 1 , x 2 . . +, )
++ t - ~ l . ~ , . .
. x p I )
de El x E , . . . x E, dans un espace vectoriel topologique F sur K.
PROPOSITION 3. - Pour chaque indice i ( 1 < i < P), soit fi une fonction définie dans un
intervalle I c R, prenant ses valeurs dans E,, dérivable au point xo E 1. Alors la fonction
définie dans 1 et à valeurs dans F , admet au point xo une dérivée égale à
Posons en effet h(x) = [ f l ( x ) . f 2 ( x ) . . . 5 ( x ) ] ; en vertu de l'identité
[b, . b, . . . b , ] - [a,. a,. . . a , ] = 5 [b, . . . b,. . (b, - ai) .ai+ l . . . a p ] ,
i = l
on peut écrire
Y
h ( x ) - W O ) = 1 .2 = 1 [ f l ( 4 . .fi - 1 ( 4 ( ("4 - fi(x0)) . f i + l b O ) . . . f p ( x o ) l .
1
Multipliant les deux membres - et faisant tendre x vers xo dans 1, on obtient
X - Xo
bien l'expression (1), en tenant compte de la continuité de
et de la continuité de l'addition dans F.
Rappelons (A, II, p. 71) qu'une application f de El x E, x - . x E, dans F est dite multilinéaire si toute application partielle
de Et dans F (1 < i < p), les a, d'indice f étant quelconques dans les Ej, est une application
linéaire. On notera que si les El et F sont des espaces de dCmensionjnie sur R, toute application
rnultilinéaire de El x E, x . . . x E, dans F est nécessairement continue; il n'en est pas de m&me si
certains de ces espaces sont des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie.
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
4 1.
* 2) En Cinématique, si f ( t ) est la position d'un mobile M à l'instant t, g ( t ) la
position au même instant de la projection M' de M sur un plan P (resp. une droite D)
parallèlement à une droite (resp. u n plan) non parallèle à P (resp. à D), g est cornposée de la projection u de R3 sur P (resp. D) et de f; comme u est une application
linéaire (continue), on voit que la projection de la vitesse d'un mobile sur un plan
(resp. une droite) est égale à la vitesse de la projection d u mobile sur le plan (resp. la
droite).,
3) Soic f une fonction à valeurs complexes, définie dans un intervalle 1 c R, et
soit a un nombre complexe quelconque; la prop. 2 montre que si f est dérivable en u n
point xo E 1, il en est de même de af, et la dérivée de cette fonction au point xo est
égale à a f ' (xo) .
3. Dérivée d'un produit
Considérons maintenant p espaces vectoriels topologiques E, (1 < i < p) sur
R, et une application multilinéairel continue (que nous noterons
( x 1 , x 2 . . +, )
++ t - ~ l . ~ , . .
. x p I )
de El x E , . . . x E, dans un espace vectoriel topologique F sur K.
PROPOSITION 3. - Pour chaque indice i ( 1 < i < P), soit fi une fonction définie dans un
intervalle I c R, prenant ses valeurs dans E,, dérivable au point xo E 1. Alors la fonction
définie dans 1 et à valeurs dans F , admet au point xo une dérivée égale à
Posons en effet h(x) = [ f l ( x ) . f 2 ( x ) . . . 5 ( x ) ] ; en vertu de l'identité
[b, . b, . . . b , ] - [a,. a,. . . a , ] = 5 [b, . . . b,. . (b, - ai) .ai+ l . . . a p ] ,
i = l
on peut écrire
Y
h ( x ) - W O ) = 1 .2 = 1 [ f l ( 4 . .fi - 1 ( 4 ( ("4 - fi(x0)) . f i + l b O ) . . . f p ( x o ) l .
1
Multipliant les deux membres - et faisant tendre x vers xo dans 1, on obtient
X - Xo
bien l'expression (1), en tenant compte de la continuité de
et de la continuité de l'addition dans F.
Rappelons (A, II, p. 71) qu'une application f de El x E, x - . x E, dans F est dite multilinéaire si toute application partielle
de Et dans F (1 < i < p), les a, d'indice f étant quelconques dans les Ej, est une application
linéaire. On notera que si les El et F sont des espaces de dCmensionjnie sur R, toute application
rnultilinéaire de El x E, x . . . x E, dans F est nécessairement continue; il n'en est pas de m&me si
certains de ces espaces sont des espaces vectoriels topologiques de dimension infinie.