No 3
DÉRIVÉE PREMIÈRE
FVR 1.15
Lorsque certaines des fonctions f, sont des constantes, les termes de l'expression
(1) contenant les ddrivées f[(xo) de ces fonctions sont nuls.
Nous expliciterons le cas particulier p = 2, le plus important pour les applications: si (x, y) ++ [x.y] est une application bilinéaire continue de E x F dans G
(E, F, G espaces vectoriels topologiques sur Et), f et g deux fonctions vectorielles
dérivables au point x,, prenant leurs valeurs respectivement dans E et F, la fonction vectorielle x ++ [f ( x ) . g(x)] (qu'on note encore [f. $1) admet au point x,
une dérivde égale à [f'(x,) . g(xo)] + [f (xo) . g1(x0)]. En particulier, si a est un
vecteur constant, [a.f] (resp. [f.a]) admet au point x, une dérivée égale à
[a$'(x,)] (resp: [f(x,).a]), - - - - - - - - - - - - - - - - -
-
Si f et g sont toutes deux dérivables dans 1 , il en est donc de même de [f. g], et
on a
Exemples. - 1) Soient f une fonction numérique, g une fonction vectorielle, toutes
deux dérivables en un point xo; la fonction g f admet au point x0 une dérivée égale à
g'(xo) f (xo) + g(xo)f'(xo). En particulier, si a est un vecteur constant, af admet une
dérivée égale à af'(xo). Cette dernière remarque, jointe à l'exemple 1 de 1 , p. 13,
prouve que si f = (fi)l
est une fonction vectorielle à valeurs dans Rn, pour que f
soit dérivable au point xo, il faut et il suffit que chacune des fonctions numériques
A(l , ( i < n) le soit: car, si (e,), ,,,, est la base canonique de Rn, on peut écrire
n
f = C elfi.
i n 1
2) La fonction numérique xn provient de la fonction multilinéaire
définie dans Rn, par substitution de x à chacun des xi; la prop. 3 montre donc que xn
f i t dérivable dans R ega pouil dérivée nxn-L Itenrésnlte-que lafonction polynômGe
aoxn + alxn-l+ . . + an-,x + an (a, vecteurs constants) a pour dérivée
lorsque les al sont des nombres réels, cette fonction coïncide avec la dérivée d'une
fonction polynôme définie en Algèbre (A, IV).
3) Le produit scalaire euclidien (x'ly) (TG, VI, p. 8) est une application bilinéaire
(nécessairement continue) de Rn x Rn dans R. Si f et g sont deux fonctions vectorielles
à valeurs dans Rn, dérivables au point xo, la fonction numérique x H (f(x) 1 g(x))
a au point xo une dérivée égale à (f'(xo) 1 g(xo)) + (f (x,) 1 g'(xo)). On a un résultat
analogue pour le produit scalaire hermitien dans Cn, ce dernier espace étant considéré
comme espace vectoriel sur R.
Considérons en particulier le cas où la norme euclidienne Il f (x) II est constante, et
par suite aussi (f (x) 1 f (x)) = Il f (x) 11 2; en écrivant que la dérivée de (f (x) 1 f (x)) est
nulle au point xo, il vient (f(xo) 1 f'(xo)) = O, autrement dit, ff(xo) est un vecteur
orthogonal à f (xo).
4) Si E est une algèbre to#ologique sur R (cf. Introduction), le produit xy de deux
tléments de E est fonction bilinéaire continue de (x, y); si f et g prennent leurs
valeurs dans E et sont dérivables au point xo, la fonction x H f ( x ) ~ ( x )
admet au point
xo une dérivée égale à f'(xo)g(xo) + f (xo)gl(xo). En particulier, si U(x) = (q(x)),
Vix) = @,,(+Y)) sont deux matrices surrées d'ordre 71, dérivables an paintlco, feur prodult
DÉRIVÉE PREMIÈRE
FVR 1.15
Lorsque certaines des fonctions f, sont des constantes, les termes de l'expression
(1) contenant les ddrivées f[(xo) de ces fonctions sont nuls.
Nous expliciterons le cas particulier p = 2, le plus important pour les applications: si (x, y) ++ [x.y] est une application bilinéaire continue de E x F dans G
(E, F, G espaces vectoriels topologiques sur Et), f et g deux fonctions vectorielles
dérivables au point x,, prenant leurs valeurs respectivement dans E et F, la fonction vectorielle x ++ [f ( x ) . g(x)] (qu'on note encore [f. $1) admet au point x,
une dérivde égale à [f'(x,) . g(xo)] + [f (xo) . g1(x0)]. En particulier, si a est un
vecteur constant, [a.f] (resp. [f.a]) admet au point x, une dérivée égale à
[a$'(x,)] (resp: [f(x,).a]), - - - - - - - - - - - - - - - - -
-
Si f et g sont toutes deux dérivables dans 1 , il en est donc de même de [f. g], et
on a
Exemples. - 1) Soient f une fonction numérique, g une fonction vectorielle, toutes
deux dérivables en un point xo; la fonction g f admet au point x0 une dérivée égale à
g'(xo) f (xo) + g(xo)f'(xo). En particulier, si a est un vecteur constant, af admet une
dérivée égale à af'(xo). Cette dernière remarque, jointe à l'exemple 1 de 1 , p. 13,
prouve que si f = (fi)l
est une fonction vectorielle à valeurs dans Rn, pour que f
soit dérivable au point xo, il faut et il suffit que chacune des fonctions numériques
A(l , ( i < n) le soit: car, si (e,), ,,,, est la base canonique de Rn, on peut écrire
n
f = C elfi.
i n 1
2) La fonction numérique xn provient de la fonction multilinéaire
définie dans Rn, par substitution de x à chacun des xi; la prop. 3 montre donc que xn
f i t dérivable dans R ega pouil dérivée nxn-L Itenrésnlte-que lafonction polynômGe
aoxn + alxn-l+ . . + an-,x + an (a, vecteurs constants) a pour dérivée
lorsque les al sont des nombres réels, cette fonction coïncide avec la dérivée d'une
fonction polynôme définie en Algèbre (A, IV).
3) Le produit scalaire euclidien (x'ly) (TG, VI, p. 8) est une application bilinéaire
(nécessairement continue) de Rn x Rn dans R. Si f et g sont deux fonctions vectorielles
à valeurs dans Rn, dérivables au point xo, la fonction numérique x H (f(x) 1 g(x))
a au point xo une dérivée égale à (f'(xo) 1 g(xo)) + (f (x,) 1 g'(xo)). On a un résultat
analogue pour le produit scalaire hermitien dans Cn, ce dernier espace étant considéré
comme espace vectoriel sur R.
Considérons en particulier le cas où la norme euclidienne Il f (x) II est constante, et
par suite aussi (f (x) 1 f (x)) = Il f (x) 11 2; en écrivant que la dérivée de (f (x) 1 f (x)) est
nulle au point xo, il vient (f(xo) 1 f'(xo)) = O, autrement dit, ff(xo) est un vecteur
orthogonal à f (xo).
4) Si E est une algèbre to#ologique sur R (cf. Introduction), le produit xy de deux
tléments de E est fonction bilinéaire continue de (x, y); si f et g prennent leurs
valeurs dans E et sont dérivables au point xo, la fonction x H f ( x ) ~ ( x )
admet au point
xo une dérivée égale à f'(xo)g(xo) + f (xo)gl(xo). En particulier, si U(x) = (q(x)),
Vix) = @,,(+Y)) sont deux matrices surrées d'ordre 71, dérivables an paintlco, feur prodult