FVR 1.16
DÉRIVÉES
9 1
UV admet en ce point une dérivée égale à la matrice U1(x0) V(xo) 4 U(xo) Vf(xo)
(avec Uf(x) = (ul,(x)) et Vf(x) = (P;(x))).
5) Le déterminunt det(xl, x2, . . . , x,) de n vecteurs x, = (xi,)= <,<, de l'espace
Rn (A, III, p. 90) étant une fonction multilinéaire (continue) des xi, on voit que si
les n2 fonctions numériques hi sont dérivables au point xo, leur déterminant g(x) =
det(h,(x)) admet en ce point une dérivée égale à
3 [f1(~0), ., ft-1(~0), C(XO), ft+l(xo), - - ., fn(x0)1
t = 1
où f,(x) = (fij(x))l,,,,; en d'autres termes, on obtient la dérivéed'un déterminant
d'ordre n en faisant la somme des n déterminants qu'on obtient en remplaçant, pour
chaque i, les termes de la colonne d'indice i du déterminant donné par leurs dérivées.
Remarque. - Si U(x) est une matrice carrée dérivable et inversible au point x,,
la dérivée de son déterminant A(x) = det(U(x)) s'exprime encore à l'aide de la
dérivée de U ( x ) par la formule
(3)
Ar(x0) = A(%,). T ~ ( U ' ( X , ) U - ~ ( X , ) ) .
En effet, posons U(x, + h) = U(x,) + hV; V tend par définition vers
Uf(xo) lorsque h tend vers O. On peut alors écrire
A(x, + h) = A(xo). d e t ( l + hVU-l(x,)).
n
Or, det(I + hX) = 1 + h T r ( X ) + 2 Akhk, les 1 , (k 2) étant des polyk = 2
nômes par rapport aux éléments de la matrice X; comme les éléments de VU-l (x,)
ont une limite lorsque h tend vers O, on a bien la formule (3).
4. Dérivée de l'inverse d'me fonction
PROPOSITION 4. - Soit E une algèbre normée complète sur R, ayant un élément unité et soit
f une fonction définie dans un intervalle 1 c
prenant ses valeurs dans E, et dérivable
au point x, E I. Si y. = f (xo) est inversiblel dans E, la fonction x H ( f ( x ) ) - l est
définie dans un voisinage de x, (par rapport à 1) et admet au point x, une dérivée égale
à - ( f ( x o ) )
- l f '(x,) ( f ( x o ) )
- l .
En effet, l'ensemble des éléments inversibles de E est un ensemble ouvert où la
fonction y ~ y - l
est continue (TG, I X , p. 40); comme f est continue (par
rapport à 1) au point x,, ( f (x)) -l est définie dans un voisinage de x,, et on a
( f ( x ) ) - * - (f(x0))-1 = ( f ( ~ ) ) - ~ ( f ( x o )
- f ( 4 ) (f(xo))-lLa proposition résulte donc de la continuité de y-l au voisinage de y,, et
de la continuité de xy dans E x E.
Exemples. - 1) Le cas particulier le plus important est celui où E est l'un des corps
R ou C: si f est une fonction à valeurs réelles ou complexes, dérivable au point xo et
telle que f (xo) # 0, llfadmet au point xo une dérivée égale à - f'(xO)/( f ( ~ 0 ) ) ~ .
On rappelle (A, 1, p. 15) qu'un élément 2 E E est dit inversible s'il existe un élément de E, noté
z - l , tel que l'on ait zz-l = 2-12 = e (e élément unité de E).
DÉRIVÉES
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UV admet en ce point une dérivée égale à la matrice U1(x0) V(xo) 4 U(xo) Vf(xo)
(avec Uf(x) = (ul,(x)) et Vf(x) = (P;(x))).
5) Le déterminunt det(xl, x2, . . . , x,) de n vecteurs x, = (xi,)= <,<, de l'espace
Rn (A, III, p. 90) étant une fonction multilinéaire (continue) des xi, on voit que si
les n2 fonctions numériques hi sont dérivables au point xo, leur déterminant g(x) =
det(h,(x)) admet en ce point une dérivée égale à
3 [f1(~0), ., ft-1(~0), C(XO), ft+l(xo), - - ., fn(x0)1
t = 1
où f,(x) = (fij(x))l,,,,; en d'autres termes, on obtient la dérivéed'un déterminant
d'ordre n en faisant la somme des n déterminants qu'on obtient en remplaçant, pour
chaque i, les termes de la colonne d'indice i du déterminant donné par leurs dérivées.
Remarque. - Si U(x) est une matrice carrée dérivable et inversible au point x,,
la dérivée de son déterminant A(x) = det(U(x)) s'exprime encore à l'aide de la
dérivée de U ( x ) par la formule
(3)
Ar(x0) = A(%,). T ~ ( U ' ( X , ) U - ~ ( X , ) ) .
En effet, posons U(x, + h) = U(x,) + hV; V tend par définition vers
Uf(xo) lorsque h tend vers O. On peut alors écrire
A(x, + h) = A(xo). d e t ( l + hVU-l(x,)).
n
Or, det(I + hX) = 1 + h T r ( X ) + 2 Akhk, les 1 , (k 2) étant des polyk = 2
nômes par rapport aux éléments de la matrice X; comme les éléments de VU-l (x,)
ont une limite lorsque h tend vers O, on a bien la formule (3).
4. Dérivée de l'inverse d'me fonction
PROPOSITION 4. - Soit E une algèbre normée complète sur R, ayant un élément unité et soit
f une fonction définie dans un intervalle 1 c
prenant ses valeurs dans E, et dérivable
au point x, E I. Si y. = f (xo) est inversiblel dans E, la fonction x H ( f ( x ) ) - l est
définie dans un voisinage de x, (par rapport à 1) et admet au point x, une dérivée égale
à - ( f ( x o ) )
- l f '(x,) ( f ( x o ) )
- l .
En effet, l'ensemble des éléments inversibles de E est un ensemble ouvert où la
fonction y ~ y - l
est continue (TG, I X , p. 40); comme f est continue (par
rapport à 1) au point x,, ( f (x)) -l est définie dans un voisinage de x,, et on a
( f ( x ) ) - * - (f(x0))-1 = ( f ( ~ ) ) - ~ ( f ( x o )
- f ( 4 ) (f(xo))-lLa proposition résulte donc de la continuité de y-l au voisinage de y,, et
de la continuité de xy dans E x E.
Exemples. - 1) Le cas particulier le plus important est celui où E est l'un des corps
R ou C: si f est une fonction à valeurs réelles ou complexes, dérivable au point xo et
telle que f (xo) # 0, llfadmet au point xo une dérivée égale à - f'(xO)/( f ( ~ 0 ) ) ~ .
On rappelle (A, 1, p. 15) qu'un élément 2 E E est dit inversible s'il existe un élément de E, noté
z - l , tel que l'on ait zz-l = 2-12 = e (e élément unité de E).