DÉRIVÉE PREMIÈRE
FVR 1.17
2) Si U = ( z I j ( x ) ) est une matrice carrée d'ordre n, dérivable au point xo et inversible en ce point, U-l admet au point xo une dérivée égale à - U-lU'U-l.
5. Dérivée d'une fonction composée
PROPOSITION 5. - Soient f une fonction numérique définie dans un intervalle 1 c R, et g
une fonction vectorielle dgnie dans un intervalle de R contenant f (1). Si f est dérivable au
point x, et g dérivable au point f (x,), la fonction composée g 0 f admet au point x, une
dérivée égale à g' (f (x,) ) f ' (x,) .
En effet, posons h = g of; on peut écrire, pour x # x,,
dans le cas contraire. Lorsque x tend vers x,, f (x) a pour limite f (x,), donc u ( x )
a pour limite gr( f (x,)), d'où la proposition en vertu de la continuité de la
fonction y x dans E x R.
6. Dérivée d'une fonction réciproque
PROPOSITION 6. -Soit f un homéomorphisme d'un intervalle 1 c R sur un intervalle
J = f (1) c R, et soit g l'homéomo~hisme récipr~que.~ Si f est dérivable au point x, E 1,
et si f '(x,) # O, g admet aupoint y, = f (x,) une dérivée égale à 11 f '(x,) .
En effet, pour tout y E J, on ag(y) E 1 et u = f ( g ( y ) ) ; on peut donc écrire, pour
Y f Yo, g(y) - g(yO) = g(y) -
Lorsque y tend vers y, en restant dans J
Y - Y 0
f ( g ( y ) ) - f ( x o )
et f y,, g ( y ) tend vers x, en restant dans 1 et f x,, et le second membre de la
formule précédente a donc une limite égale à 11 f '(x,), puisque par hypothèse
f ' ( x 0 ) f 0.
COROLLAIRE. - Si f est dérivable dans 1 et si f ' ( x ) # O dans 1, g est dérivable dans J
et sa dérivée en tout point y E J est égale à 1 / f ' (g( y)).
Par exemple, pour tout entier n > O, la fonction x1In, homéomorphisme de R + sur
1 LI.
lui-même, réciproque de xn, a pour dérivée en tout point x > 0, - xn
n
On en déduit aisément, d'après la prop. 5, que, pour tout nombre rationncl
r = P/q > O, la fonction x7 = (xl'q)' a pour dérivée rxT-l en tout point x > 0.
Remarques. - 1) Toutes les propositions qui précèdent, énoncées pour des fonctions dérivables en un point xo, donnent aussitôt des propositions pour des fonctions
dérivables à droite (resp. à gauche) en xo, en considérant au lieu de ces fonctions,
Pour que f soit un homéomorphisme de 1 sur une partie de R, on sait qu'il faut et il suffit que f
soit continue et strictement monotone dans 1 (TG, IV, p. 9, th. 5).
FVR 1.17
2) Si U = ( z I j ( x ) ) est une matrice carrée d'ordre n, dérivable au point xo et inversible en ce point, U-l admet au point xo une dérivée égale à - U-lU'U-l.
5. Dérivée d'une fonction composée
PROPOSITION 5. - Soient f une fonction numérique définie dans un intervalle 1 c R, et g
une fonction vectorielle dgnie dans un intervalle de R contenant f (1). Si f est dérivable au
point x, et g dérivable au point f (x,), la fonction composée g 0 f admet au point x, une
dérivée égale à g' (f (x,) ) f ' (x,) .
En effet, posons h = g of; on peut écrire, pour x # x,,
dans le cas contraire. Lorsque x tend vers x,, f (x) a pour limite f (x,), donc u ( x )
a pour limite gr( f (x,)), d'où la proposition en vertu de la continuité de la
fonction y x dans E x R.
6. Dérivée d'une fonction réciproque
PROPOSITION 6. -Soit f un homéomorphisme d'un intervalle 1 c R sur un intervalle
J = f (1) c R, et soit g l'homéomo~hisme récipr~que.~ Si f est dérivable au point x, E 1,
et si f '(x,) # O, g admet aupoint y, = f (x,) une dérivée égale à 11 f '(x,) .
En effet, pour tout y E J, on ag(y) E 1 et u = f ( g ( y ) ) ; on peut donc écrire, pour
Y f Yo, g(y) - g(yO) = g(y) -
Lorsque y tend vers y, en restant dans J
Y - Y 0
f ( g ( y ) ) - f ( x o )
et f y,, g ( y ) tend vers x, en restant dans 1 et f x,, et le second membre de la
formule précédente a donc une limite égale à 11 f '(x,), puisque par hypothèse
f ' ( x 0 ) f 0.
COROLLAIRE. - Si f est dérivable dans 1 et si f ' ( x ) # O dans 1, g est dérivable dans J
et sa dérivée en tout point y E J est égale à 1 / f ' (g( y)).
Par exemple, pour tout entier n > O, la fonction x1In, homéomorphisme de R + sur
1 LI.
lui-même, réciproque de xn, a pour dérivée en tout point x > 0, - xn
n
On en déduit aisément, d'après la prop. 5, que, pour tout nombre rationncl
r = P/q > O, la fonction x7 = (xl'q)' a pour dérivée rxT-l en tout point x > 0.
Remarques. - 1) Toutes les propositions qui précèdent, énoncées pour des fonctions dérivables en un point xo, donnent aussitôt des propositions pour des fonctions
dérivables à droite (resp. à gauche) en xo, en considérant au lieu de ces fonctions,
Pour que f soit un homéomorphisme de 1 sur une partie de R, on sait qu'il faut et il suffit que f
soit continue et strictement monotone dans 1 (TG, IV, p. 9, th. 5).