FVR 1.18
DÉRIVÉES
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leurs restrictions à l'intersection de l'intervalle où sont définies ces fonctions et
de l'intervalle [x,, + CO[ (rcsp.) - CO, x,)) ; nous laissons au lecteur le soin de lcs
énoncer.
2) Les définitions et propositions qui précèdent (à l'exception de ce qui concerne
les dérivées à droite et dérivécs à gauche) s'étendent aisément au cas où on remplace
par un corps topologique commutatif quelconque K, et les espaces vectoriels topologiques (resp. algèbres topologiques) sur R par des espaces vectoriels topologiques
(resp. algèbres topologiques) sur K. Dans la déf. 1 et les prop. 1, 2 et 3, il suffit de
remplacer I par un voisinage de xo dans IC; dans la prop. 4, il faut supposer de plus que
l'application y H y - l est définie et continue dans un voisinage de f (x,) dans E. La
prop. 5 se généralise de la façon suivante: soient K' un sous-corps du corps topologique
K, E un espace vectoriel topologique sur K; soit f une fonction définie dans un
voisinage V c K' de xo E Kt, à valeurs dans K (considéré comme espace vectoriel
topologique sur K'), dérivable au point x,. et soit g une fonction définie dans un
voisinage de f (x,) E K, à valeurs dans E, ct dérivable au point f (x,) ; alors l'application g of est dérivable au point x, et a une dérivée en ce point égale à g ' ( f (x,)) f'(xo)
(E étant alors considéré comme espace vectoriel topologique sur K').
Avcc les mêmes notations, soit f une fonction définie dans un voisinage V de
a E K, à valeurs dans E, et dérivable au point a; si a E K' et n'est pas point isolé dans
K', la restriction de f à V n K' est dérivable au point a, et a pour dérivée f'(a) en ce
point. Ces considérations s'appliqueront surtout, en pratique, au cas où K = C et
K' = R.
Enfin, la prop. 6 s'étend au cas où on remplace 1 par un voisinage de xo G K, etf
par un homéomorphisme de I sur un voisinage J = f (1) deyo = f (xo) dans K.
7. Dérivées des fonctions numériques
Les définitions et propositions qui précèdent se complètent sur quelques points
lorsqu'il s'agit de fonctions numériques (finies) d'une variable réelle.
Tout d'abord, si f est une telle fonction, définie dans un intervalle 1 c R, et
continue par rapport à 1 en un point x, E 1, il peut se faire, lorsque x tend vers x,
en restant dans 1 et + x,, que
- (XO) ait une limite égale à + CO ou à - a;
X - Xo
on dit alors encore que f est dérivable au point x, et a pour dérivée en ce point
+co (resp. -a) ; si, en tout point x de 1, la fonction f a une dérivée (finie ou
infinie) f'(x), la fonction f' (à valeurs dans R) est encore appelée la fonction
dérivée (ou simplement la dérivée) def. On généralise de même les définitions de
la dérivée à droite et de la dérivée à gauche.
Exemple. -Au point x = O, la fonction x% (fonction réciproque de x3, homéosur lui-même) admet une dérivée égale à + co ; la fonction 1x1 %
admet au point x = O une dérivée à droite égale à + c c et une dérivée à gauche
égale à - co.
Les formules donnant la dérivée d'une somme, d'un produit de fonctions
numériques dérivables, ou de l'inverse d'une fonction dérivable (prop. 1, 3 et 4)
ainsi que la dérivée d'une fonction (numérique) composCe (prop. 5) sont encore
valables lorsque les dérivées qui y figurent sont infinies, pourvu que toutes les
DÉRIVÉES
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leurs restrictions à l'intersection de l'intervalle où sont définies ces fonctions et
de l'intervalle [x,, + CO[ (rcsp.) - CO, x,)) ; nous laissons au lecteur le soin de lcs
énoncer.
2) Les définitions et propositions qui précèdent (à l'exception de ce qui concerne
les dérivées à droite et dérivécs à gauche) s'étendent aisément au cas où on remplace
par un corps topologique commutatif quelconque K, et les espaces vectoriels topologiques (resp. algèbres topologiques) sur R par des espaces vectoriels topologiques
(resp. algèbres topologiques) sur K. Dans la déf. 1 et les prop. 1, 2 et 3, il suffit de
remplacer I par un voisinage de xo dans IC; dans la prop. 4, il faut supposer de plus que
l'application y H y - l est définie et continue dans un voisinage de f (x,) dans E. La
prop. 5 se généralise de la façon suivante: soient K' un sous-corps du corps topologique
K, E un espace vectoriel topologique sur K; soit f une fonction définie dans un
voisinage V c K' de xo E Kt, à valeurs dans K (considéré comme espace vectoriel
topologique sur K'), dérivable au point x,. et soit g une fonction définie dans un
voisinage de f (x,) E K, à valeurs dans E, ct dérivable au point f (x,) ; alors l'application g of est dérivable au point x, et a une dérivée en ce point égale à g ' ( f (x,)) f'(xo)
(E étant alors considéré comme espace vectoriel topologique sur K').
Avcc les mêmes notations, soit f une fonction définie dans un voisinage V de
a E K, à valeurs dans E, et dérivable au point a; si a E K' et n'est pas point isolé dans
K', la restriction de f à V n K' est dérivable au point a, et a pour dérivée f'(a) en ce
point. Ces considérations s'appliqueront surtout, en pratique, au cas où K = C et
K' = R.
Enfin, la prop. 6 s'étend au cas où on remplace 1 par un voisinage de xo G K, etf
par un homéomorphisme de I sur un voisinage J = f (1) deyo = f (xo) dans K.
7. Dérivées des fonctions numériques
Les définitions et propositions qui précèdent se complètent sur quelques points
lorsqu'il s'agit de fonctions numériques (finies) d'une variable réelle.
Tout d'abord, si f est une telle fonction, définie dans un intervalle 1 c R, et
continue par rapport à 1 en un point x, E 1, il peut se faire, lorsque x tend vers x,
en restant dans 1 et + x,, que
- (XO) ait une limite égale à + CO ou à - a;
X - Xo
on dit alors encore que f est dérivable au point x, et a pour dérivée en ce point
+co (resp. -a) ; si, en tout point x de 1, la fonction f a une dérivée (finie ou
infinie) f'(x), la fonction f' (à valeurs dans R) est encore appelée la fonction
dérivée (ou simplement la dérivée) def. On généralise de même les définitions de
la dérivée à droite et de la dérivée à gauche.
Exemple. -Au point x = O, la fonction x% (fonction réciproque de x3, homéosur lui-même) admet une dérivée égale à + co ; la fonction 1x1 %
admet au point x = O une dérivée à droite égale à + c c et une dérivée à gauche
égale à - co.
Les formules donnant la dérivée d'une somme, d'un produit de fonctions
numériques dérivables, ou de l'inverse d'une fonction dérivable (prop. 1, 3 et 4)
ainsi que la dérivée d'une fonction (numérique) composCe (prop. 5) sont encore
valables lorsque les dérivées qui y figurent sont infinies, pourvu que toutes les