No 7
DÉRIVÉE PREMIÈRE
FVR 1.19
expressions intervenant dans ces formules aient un sens (TG, IV, p. 15-16). Enfin,
dans la prop. 6, si on suppose que f est strictement croissante (resp. strictement
décroissante) et continue dans 1, et si f '(x,) = O, la fonction réciproque g admet
au point y, = f (x,) une dérivée égale à + c o (resp. - a ) ; si f'(x,) = +co
(resp. - co), g admet une dérivée égale à O. On a des résultats analogues pour les
dérivées à droite et dérivées à gauche, que nous laissons au lecteur le soin d'énoncer.
Soit C le graphe ou courbe représentative d'une fonction numérique finief, partie
du plan R2 formée des points (x, f (x)) où x parcourt l'ensemble où f est définie.
Si, en un point x, E 1, la fonction f a une dérivée à droite finie, la demi-droite
ayant comme origine le point Mx, = (x,, f (x,)) de C, et pour paramètres directeurs (1, f,'(x,)) est appelCe demi-tangente à droite à la courbe C au point Mxo;
lorsque f,' (x,) = +co (resp. f,' (x,) = -a), on appelle encore ainsi la demidroite d'origine Mx, et de paramètres (0, 1) (resp. (O, - 1)). On définit de même
la demi-tangente à gauche au point Mx,, lorsque fi (x,) existe. Avcc ces définitions, on
vérifie aussitôt que l'angle que fait la demi-tangente à droite (resp. à gauche) avec
l'axe des abscisses, est la limite de l'angle que fait avec cet axe la demi-droite
d'origine Mx, passant par le point Mx = (x, f (x)) de C, lorsque x tend vers x,
en restant > x, (resp. < x,) .
On peut dire aussi que la demi-tangente à droite (resp. à gauche) est la limite de la
demi-droite d'origine Mx, passant par Mx, en considérant sur l'ensemble des demidroites de même origine, la topologie de l'espace quotient C*//Rf (TG, VIII, p. 9).
Si les deux demi-tangentes en un point Mx, de C existent, elles ne sont
opposées que lorsque f a une dérivée (finie ou non) au point x, (supposé intérieur à
1) ; elles ne sont identiques que lorsque f,' (x,) et f,' (x,) sont infinies et de signes
contraires. Dans les deux cas, on dit que la droite qui contient les deux deinitangentes est la tangente à C au point Mx,.
Lorsque la tangente en M,, existe, elle est la limite de la droite passant par Mx,
et Mx, lorsque x tend vers xo en restant # x o , la topologie sur l'ensemble des droites
passant par un même point étant celle de l'espace quotient C*/R* (TG, VIII, p. 15).
Les notions de tangente et de demi-tangente à une courbe représentative sont
des cas particuliers de notions génPrales qui seront définies dans la partie de ce
Traité consacrée aux variétés différentielles.
DÉFINITION 4. - On dit qu' une fonction numériquejnief, définie dans une partie A d'un
espace topologique E, admet un maximum relatif (resp. maximum relatif strict, minimum
relatif, minimum relatif strict) en un point x, E A, par ratport à A, s'il existe un voisinage V
de x, dans E tel qu' en tout point x E V n A dzférent de x,, on ait f (x) < f (x,) (resp.
f ( x ) < f (xo), f ( x ) >f(xo), f ( 4 >f(xo)).
Il est clair que si f atteint sa borne supérieure (resp. inférieure) dans A en un
point de A, elle a un maximum relatif (resp. minimum relatif) par rapport à A en
ce point; la réciproque est bien entendu inexacte.
DÉRIVÉE PREMIÈRE
FVR 1.19
expressions intervenant dans ces formules aient un sens (TG, IV, p. 15-16). Enfin,
dans la prop. 6, si on suppose que f est strictement croissante (resp. strictement
décroissante) et continue dans 1, et si f '(x,) = O, la fonction réciproque g admet
au point y, = f (x,) une dérivée égale à + c o (resp. - a ) ; si f'(x,) = +co
(resp. - co), g admet une dérivée égale à O. On a des résultats analogues pour les
dérivées à droite et dérivées à gauche, que nous laissons au lecteur le soin d'énoncer.
Soit C le graphe ou courbe représentative d'une fonction numérique finief, partie
du plan R2 formée des points (x, f (x)) où x parcourt l'ensemble où f est définie.
Si, en un point x, E 1, la fonction f a une dérivée à droite finie, la demi-droite
ayant comme origine le point Mx, = (x,, f (x,)) de C, et pour paramètres directeurs (1, f,'(x,)) est appelCe demi-tangente à droite à la courbe C au point Mxo;
lorsque f,' (x,) = +co (resp. f,' (x,) = -a), on appelle encore ainsi la demidroite d'origine Mx, et de paramètres (0, 1) (resp. (O, - 1)). On définit de même
la demi-tangente à gauche au point Mx,, lorsque fi (x,) existe. Avcc ces définitions, on
vérifie aussitôt que l'angle que fait la demi-tangente à droite (resp. à gauche) avec
l'axe des abscisses, est la limite de l'angle que fait avec cet axe la demi-droite
d'origine Mx, passant par le point Mx = (x, f (x)) de C, lorsque x tend vers x,
en restant > x, (resp. < x,) .
On peut dire aussi que la demi-tangente à droite (resp. à gauche) est la limite de la
demi-droite d'origine Mx, passant par Mx, en considérant sur l'ensemble des demidroites de même origine, la topologie de l'espace quotient C*//Rf (TG, VIII, p. 9).
Si les deux demi-tangentes en un point Mx, de C existent, elles ne sont
opposées que lorsque f a une dérivée (finie ou non) au point x, (supposé intérieur à
1) ; elles ne sont identiques que lorsque f,' (x,) et f,' (x,) sont infinies et de signes
contraires. Dans les deux cas, on dit que la droite qui contient les deux deinitangentes est la tangente à C au point Mx,.
Lorsque la tangente en M,, existe, elle est la limite de la droite passant par Mx,
et Mx, lorsque x tend vers xo en restant # x o , la topologie sur l'ensemble des droites
passant par un même point étant celle de l'espace quotient C*/R* (TG, VIII, p. 15).
Les notions de tangente et de demi-tangente à une courbe représentative sont
des cas particuliers de notions génPrales qui seront définies dans la partie de ce
Traité consacrée aux variétés différentielles.
DÉFINITION 4. - On dit qu' une fonction numériquejnief, définie dans une partie A d'un
espace topologique E, admet un maximum relatif (resp. maximum relatif strict, minimum
relatif, minimum relatif strict) en un point x, E A, par ratport à A, s'il existe un voisinage V
de x, dans E tel qu' en tout point x E V n A dzférent de x,, on ait f (x) < f (x,) (resp.
f ( x ) < f (xo), f ( x ) >f(xo), f ( 4 >f(xo)).
Il est clair que si f atteint sa borne supérieure (resp. inférieure) dans A en un
point de A, elle a un maximum relatif (resp. minimum relatif) par rapport à A en
ce point; la réciproque est bien entendu inexacte.