FVR 1.20
DÉRIVÉES
§ 2
On notera que si B c A, et si f admet (par exemple) un maximum relatif en un
point xo E B, par rapport à B, f n'admet pas nécessairement un maximum relatif par
rapport à A en ce point.
PROPOSITION 7. - Soit f une fonction numériquejinie, déJinie dans un intervalle 1 c R.
Si, en un point x,, intérieur à 1, f admet un maximum relatif (resp. un minimum relatif) et a
en ce point une dérivée à droite et une dérivée à gauche, on a fi (x,) < O et f,' (x,) 2 O
(resp. fi (x,) 2 O et f,' (x,) < O) ; en particulier, si f est dérivable au point xo, on a
f'(xo) = 0.
La proposition résulte trivialement des définitions.
On peut dire encore que si en un point x, intérieur à 1 la fonction f est dérivable et admet un maximum ou minimum relatif, la tangente à sa courbe représentative est parallèle à l'axe des abscisses. La réciproque est inexacte, comme le montre
l'exemple de la fonction x3 qui a une dérivée nulle au point x = O, mais n'a ni
maximum ni minimum relatif en ce point.
8 2. LE THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS
Dans les propositions démontrées au § 1, hypothèses et conclusions ont un caractère local: elles ne font intervenir que des propriétés des fonctions considérées
dans un voisinage arbitrairement petit d'un point fixe. Au contraire, les questions
dont nous allons nous occuper dans ce paragraphe font intervenir les propriétés
d'une fonction dans tout un intervalle.
1. Théorème de Rolle
PROPOSITION 1 ((< théorème de Rolle )>). - Soit f une fonction numériquejinie et continue
dans un intervalle fermé 1 = (a, b) (où a < b), admettant en tout point de )a, b( une
dérivée (finie ou non), et telle que f (a) = f (b). Il existe alors un point c (au moins) de
)a, b( tel que f ' (c) = 0.
La proposition est évidente si f est constante; sinon f prend par exemple des
valeurs > f (a), et atteint donc sa borne supérieure en un point c intérieur à 1
(TG, IV, p. 27, th. 1). Comme en ce point f admet un maximum relatif, on a
f (c) = O (1, p. 20, prop. 7).
COROLLAIRE. - Soit f une fonction numérique jinie et continue dans (a, b) (où a < b),
admettant en tout point de )a, b( une dérivée (finie ou non). Il existe alors un point c (au
moins) de )a, b( tel que f (b) - f (a) = f '(c) (b - a).
Il suffit d'appliquer la prop. 1 à f (x) = f (b) -f (a) ( x - a).
b - a
DÉRIVÉES
§ 2
On notera que si B c A, et si f admet (par exemple) un maximum relatif en un
point xo E B, par rapport à B, f n'admet pas nécessairement un maximum relatif par
rapport à A en ce point.
PROPOSITION 7. - Soit f une fonction numériquejinie, déJinie dans un intervalle 1 c R.
Si, en un point x,, intérieur à 1, f admet un maximum relatif (resp. un minimum relatif) et a
en ce point une dérivée à droite et une dérivée à gauche, on a fi (x,) < O et f,' (x,) 2 O
(resp. fi (x,) 2 O et f,' (x,) < O) ; en particulier, si f est dérivable au point xo, on a
f'(xo) = 0.
La proposition résulte trivialement des définitions.
On peut dire encore que si en un point x, intérieur à 1 la fonction f est dérivable et admet un maximum ou minimum relatif, la tangente à sa courbe représentative est parallèle à l'axe des abscisses. La réciproque est inexacte, comme le montre
l'exemple de la fonction x3 qui a une dérivée nulle au point x = O, mais n'a ni
maximum ni minimum relatif en ce point.
8 2. LE THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS
Dans les propositions démontrées au § 1, hypothèses et conclusions ont un caractère local: elles ne font intervenir que des propriétés des fonctions considérées
dans un voisinage arbitrairement petit d'un point fixe. Au contraire, les questions
dont nous allons nous occuper dans ce paragraphe font intervenir les propriétés
d'une fonction dans tout un intervalle.
1. Théorème de Rolle
PROPOSITION 1 ((< théorème de Rolle )>). - Soit f une fonction numériquejinie et continue
dans un intervalle fermé 1 = (a, b) (où a < b), admettant en tout point de )a, b( une
dérivée (finie ou non), et telle que f (a) = f (b). Il existe alors un point c (au moins) de
)a, b( tel que f ' (c) = 0.
La proposition est évidente si f est constante; sinon f prend par exemple des
valeurs > f (a), et atteint donc sa borne supérieure en un point c intérieur à 1
(TG, IV, p. 27, th. 1). Comme en ce point f admet un maximum relatif, on a
f (c) = O (1, p. 20, prop. 7).
COROLLAIRE. - Soit f une fonction numérique jinie et continue dans (a, b) (où a < b),
admettant en tout point de )a, b( une dérivée (finie ou non). Il existe alors un point c (au
moins) de )a, b( tel que f (b) - f (a) = f '(c) (b - a).
Il suffit d'appliquer la prop. 1 à f (x) = f (b) -f (a) ( x - a).
b - a