No 2
THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS
FVR 1.21
Ce corollaire signifie qu'il existe un point Mc = (c, f (c)) de la courbe représentative C de f tel que a < c < b et qu'en ce point la tangente à C soitparallèle à
la droite joignant les points Ma = (a, f (a)) et M, = (6, f (b)).
2. Le théorème des accroissements finis pour les fonctions numériques
Du corollaire de la prop. 1 résulte en particulier l'importante propriété suivante :
si on a m t f ' ( x ) t M dans )a, b(, on a aussi rn t (' ) -
G M. Autrement
b - a
dit, d'une majoration de la dérivée f' dans tout un intervalle d'extrémités a, b
résulte la même majoration du rapport
-
(rapport de 1' u accroissement O
b - a
de la fonction à 1' (( accroissement de la variable dans l'intervalle). Nous allons
dans ce qui suit préciser et généraliser ce résultat fondamental.
PROPOSITION 2. - Soit f une fonction numérique finie et continue dans un intervalle fermé
borné 1 = (a, b) (où a < b), et admettant une dérivée à droite (finie ou non) en tous les
points du complémentaire par rapport à (a, b(: d'une partie dénombrable A de cet intervalle.
Si f,' (x) 2 O en tout point x de (a, b( n'appartenant pas à A, on a f (b) P f (a) ; si en
outre f,' (x) > O en unpoint au moins de (a, b(, on a f (6) > f (a).
Soit E > O un nombre arbitraire, et désignons par (a,),,, une suite obtenue
en rangeant dans un certain ordre les points de l'ensemble dénombrable A. Soit J
l'ensemble des points y E 1 tels que, pour tout x tel que a t x t y, on ait
la somme du second membre étant étendue à l'ensemble des indices n tels que
a, < x. Nous allons démontrer que si f,' (x) 2 O en tout point de (a, b( distinct
des a,, on a J = 1.
Il est clair que J n'est pas vide, puisque a E J; d'autre part, la définition de cet
ensemble montre que si y E J, on a x E J pour a t x t y, donc J est un intervalle
d'origine a (TG, IV, p. 7, prop. 1) ; soit c son extrémité. On a c E J; c'est évident si
c = a; sinon, pour tout x < c, on a l'inégalité (l), et a fortiori
d'où, en faisant tendre x vers c dans cette inégalité, résulte (en raison de la continuité de f ) que c satisfait à (1).
Cela étant, nous allons voir qu'on a nécessairement c = b. En effet, si on
avait c < b, ou bien on aurait c $ A; alorsf,' (c) existerait, et comme f,' (c) 2 O par
hypothèse, il existerait un y tel que c < y t b et que pour c t x t y, l'on ait
THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS
FVR 1.21
Ce corollaire signifie qu'il existe un point Mc = (c, f (c)) de la courbe représentative C de f tel que a < c < b et qu'en ce point la tangente à C soitparallèle à
la droite joignant les points Ma = (a, f (a)) et M, = (6, f (b)).
2. Le théorème des accroissements finis pour les fonctions numériques
Du corollaire de la prop. 1 résulte en particulier l'importante propriété suivante :
si on a m t f ' ( x ) t M dans )a, b(, on a aussi rn t (' ) -
G M. Autrement
b - a
dit, d'une majoration de la dérivée f' dans tout un intervalle d'extrémités a, b
résulte la même majoration du rapport
-
(rapport de 1' u accroissement O
b - a
de la fonction à 1' (( accroissement de la variable dans l'intervalle). Nous allons
dans ce qui suit préciser et généraliser ce résultat fondamental.
PROPOSITION 2. - Soit f une fonction numérique finie et continue dans un intervalle fermé
borné 1 = (a, b) (où a < b), et admettant une dérivée à droite (finie ou non) en tous les
points du complémentaire par rapport à (a, b(: d'une partie dénombrable A de cet intervalle.
Si f,' (x) 2 O en tout point x de (a, b( n'appartenant pas à A, on a f (b) P f (a) ; si en
outre f,' (x) > O en unpoint au moins de (a, b(, on a f (6) > f (a).
Soit E > O un nombre arbitraire, et désignons par (a,),,, une suite obtenue
en rangeant dans un certain ordre les points de l'ensemble dénombrable A. Soit J
l'ensemble des points y E 1 tels que, pour tout x tel que a t x t y, on ait
la somme du second membre étant étendue à l'ensemble des indices n tels que
a, < x. Nous allons démontrer que si f,' (x) 2 O en tout point de (a, b( distinct
des a,, on a J = 1.
Il est clair que J n'est pas vide, puisque a E J; d'autre part, la définition de cet
ensemble montre que si y E J, on a x E J pour a t x t y, donc J est un intervalle
d'origine a (TG, IV, p. 7, prop. 1) ; soit c son extrémité. On a c E J; c'est évident si
c = a; sinon, pour tout x < c, on a l'inégalité (l), et a fortiori
d'où, en faisant tendre x vers c dans cette inégalité, résulte (en raison de la continuité de f ) que c satisfait à (1).
Cela étant, nous allons voir qu'on a nécessairement c = b. En effet, si on
avait c < b, ou bien on aurait c $ A; alorsf,' (c) existerait, et comme f,' (c) 2 O par
hypothèse, il existerait un y tel que c < y t b et que pour c t x t y, l'on ait