FVR 1.22
DÉRIVÉES
d'où, en tenant compte de (l), où x est remplacé par c
ce qui signifie qu'on aurait y E J, contrairement à la définition de c. Ou bien on
aurait c = a, pour un indice k; comme f est continue au point ak, il existerait un y
tel que c < y < b et que, pour c < x < y, on ait
d'où, en tenant compte de (l), où x est remplacé par c,
ce qui entraîne de nouveau contradiction; on a donc bien c = 6, et par suite
Comme E > O est arbitraire, on déduit de ( 2 ) qu'on a f (b) 2 f (a), ce qui
démontre la première partic de la proposition.
Remarquons maintenant que ce résultat appliqué à un intervalle (x, y ) où
a x < y < b, prouve que f est croissante dans 1 ; si on avait f (b) = f (a), on en
déduirait que f est constante dans 1, et par suite que fd ( x ) = O en tout point de
[a, b[; d'où la seconde partie de 1'Cnoncé.
COROLLAIRE. - Soit f une fonction numériquejinie et continue dans (a, 6) (où a < 6 ) et
admettant une dLrivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b[
d'une partie dénombrable A de ce1 iniervalle. Pour que f soit croissante dans 1, il faut et il
sufit que f,' ( x ) 3 O en tout point de (a, b[ n'appartenantpas à A; pour que f soit strictement
croissante, il faut et il sufit que la condition précédente soit vériJ;ée, et en outre que 17en.remble
de5 points x où f i ( x ) > O soitpartout dense dans [a, b).
Remarques. - 1) La prop. 2 reste valable quand on remplace dans son énoncé
l'intervalle ( a , b( parla, b ) et les mots <( dérivée à droite )> par <( dérivée à gauche )>.
2) L'hypothèse de la continuité de f dans l'intervalle fermC 1 (et non seulement sa
continuité à droite1 en tout point de (a, b ( ) est esscntiellc pour la validité de la prop. 2
(cf. 1, p. 43, exerc. 8).
3) La conclusion de la prop. 2 devient inexacte si on suppose seulement que
l'ensemble A des points <( exceptionnels )> est rare dans 1, mais non dénombrable (cf.
1, p. 447 exerc. 3).
La prop. 2 entraîne le théorème fondamental suivant (en apparence plus
général) :
Une fonction définie dans un intervalle 1 c R est dite continue à droite en un point xo E 1 si sa
restriction à l'intervalle 1 n (xo, + co( est continue au point xa par rapport à cet intervalle; il revient
au même de dire que la limite à droite de la fonction au point x, existe et est égale à la valeur de la
fonction en ce point.
DÉRIVÉES
d'où, en tenant compte de (l), où x est remplacé par c
ce qui signifie qu'on aurait y E J, contrairement à la définition de c. Ou bien on
aurait c = a, pour un indice k; comme f est continue au point ak, il existerait un y
tel que c < y < b et que, pour c < x < y, on ait
d'où, en tenant compte de (l), où x est remplacé par c,
ce qui entraîne de nouveau contradiction; on a donc bien c = 6, et par suite
Comme E > O est arbitraire, on déduit de ( 2 ) qu'on a f (b) 2 f (a), ce qui
démontre la première partic de la proposition.
Remarquons maintenant que ce résultat appliqué à un intervalle (x, y ) où
a x < y < b, prouve que f est croissante dans 1 ; si on avait f (b) = f (a), on en
déduirait que f est constante dans 1, et par suite que fd ( x ) = O en tout point de
[a, b[; d'où la seconde partie de 1'Cnoncé.
COROLLAIRE. - Soit f une fonction numériquejinie et continue dans (a, 6) (où a < 6 ) et
admettant une dLrivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b[
d'une partie dénombrable A de ce1 iniervalle. Pour que f soit croissante dans 1, il faut et il
sufit que f,' ( x ) 3 O en tout point de (a, b[ n'appartenantpas à A; pour que f soit strictement
croissante, il faut et il sufit que la condition précédente soit vériJ;ée, et en outre que 17en.remble
de5 points x où f i ( x ) > O soitpartout dense dans [a, b).
Remarques. - 1) La prop. 2 reste valable quand on remplace dans son énoncé
l'intervalle ( a , b( parla, b ) et les mots <( dérivée à droite )> par <( dérivée à gauche )>.
2) L'hypothèse de la continuité de f dans l'intervalle fermC 1 (et non seulement sa
continuité à droite1 en tout point de (a, b ( ) est esscntiellc pour la validité de la prop. 2
(cf. 1, p. 43, exerc. 8).
3) La conclusion de la prop. 2 devient inexacte si on suppose seulement que
l'ensemble A des points <( exceptionnels )> est rare dans 1, mais non dénombrable (cf.
1, p. 447 exerc. 3).
La prop. 2 entraîne le théorème fondamental suivant (en apparence plus
général) :
Une fonction définie dans un intervalle 1 c R est dite continue à droite en un point xo E 1 si sa
restriction à l'intervalle 1 n (xo, + co( est continue au point xa par rapport à cet intervalle; il revient
au même de dire que la limite à droite de la fonction au point x, existe et est égale à la valeur de la
fonction en ce point.