No 3
THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS F I N I S
FVR 1.23
THEORÈME 1 (théorème des accroissements finis). -Soient f et g deux fonctions
numéripuesjinies et continues dans un intervalle fermé borné I = [a, b), et admettant une
dérivée à droite (finie o u non) en tous les points du comnplémentaire par rapport à [a, b[ d'une
partie dénombrable de cet intervalle. On suppose en outre que f,' ( x ) et gd ( x ) ne peuvent
devenir injnis simultanément qu'aux points d'une partie dénombrable de 1 et qu'il existe
deux nombresfinis m, M tels que
sauf aux points d'une partie dénombrable de 1 ( e n remplacant M .gd (x) (resp. m . g i ( x ) )
par O si M = O (resp. m = O) et gi(x) = I: a ) . Dans ces conditions, on a
sauf lorsqu'on a f ( x ) = M . g ( x ) + k, o u f ( x ) = m.g(x) + k (k constante) pour tout
x E 1.
II sufit d'appliquer la prop. 2 aux fonctions M . g - f et f - m.g, qui, e n
vertu des hypothèses faites, ont u n e dérivée à droite positive sauf aux points d'une
partie dénombrable de 1.
Remarque. - Le th. 1 est inexact si on suppose dans l'énoncé que fi et gi peuvent
simultanément infinis aux points d'une partie non dénombrable de 1 (cf. 1, p. 44,
exerc. 3).
COROLLAIRE. - Soit f une fonction numériquejnie et continue dans (a, 6) (où a < b) et
admettant une dérivée à droit (finie o u non) en tous les points du complémentaire B par
rapport à (a, b( d'une partie dénombrable de cet intervalle. Si m et M sont les bornes inférieure et supérieure de f,' dans B, on a
( 5 )
m(b - a) < f (b) - f (a) - M ( b - a)
si f n'estpas une fonction linéaire ajîne; si f est linéaire a$1ne, on a
Les inégalités (5) sont des conséquences de (4) lorsque m et M sont finis; le cas
o ù l'un o u l'autre d e ces nombres est infini est trivial.
Remarque, -Les inégalités (5) prouvent qu'une fonction continue ne peut avoir
une dérivée à droite égale à +CO en tout point d'un intervalle (cf. 1, p. 43, exerc. 6).
3. Le théorème des accroissements finis pour les fonctions vectorlelles
THÉORÈME 2. - Soit f une fonction vectorielle d&nie et continue dans un intervalle fermé
borné 1 = (a, b) de R (où a < b) et prenant ses valeurs dans un espace normé E sur
soit g une fonction numérique continue et croissante dans 1. On suppose que f et g admettent
une dérivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b[ d'une partie
THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS F I N I S
FVR 1.23
THEORÈME 1 (théorème des accroissements finis). -Soient f et g deux fonctions
numéripuesjinies et continues dans un intervalle fermé borné I = [a, b), et admettant une
dérivée à droite (finie o u non) en tous les points du comnplémentaire par rapport à [a, b[ d'une
partie dénombrable de cet intervalle. On suppose en outre que f,' ( x ) et gd ( x ) ne peuvent
devenir injnis simultanément qu'aux points d'une partie dénombrable de 1 et qu'il existe
deux nombresfinis m, M tels que
sauf aux points d'une partie dénombrable de 1 ( e n remplacant M .gd (x) (resp. m . g i ( x ) )
par O si M = O (resp. m = O) et gi(x) = I: a ) . Dans ces conditions, on a
sauf lorsqu'on a f ( x ) = M . g ( x ) + k, o u f ( x ) = m.g(x) + k (k constante) pour tout
x E 1.
II sufit d'appliquer la prop. 2 aux fonctions M . g - f et f - m.g, qui, e n
vertu des hypothèses faites, ont u n e dérivée à droite positive sauf aux points d'une
partie dénombrable de 1.
Remarque. - Le th. 1 est inexact si on suppose dans l'énoncé que fi et gi peuvent
simultanément infinis aux points d'une partie non dénombrable de 1 (cf. 1, p. 44,
exerc. 3).
COROLLAIRE. - Soit f une fonction numériquejnie et continue dans (a, 6) (où a < b) et
admettant une dérivée à droit (finie o u non) en tous les points du complémentaire B par
rapport à (a, b( d'une partie dénombrable de cet intervalle. Si m et M sont les bornes inférieure et supérieure de f,' dans B, on a
( 5 )
m(b - a) < f (b) - f (a) - M ( b - a)
si f n'estpas une fonction linéaire ajîne; si f est linéaire a$1ne, on a
Les inégalités (5) sont des conséquences de (4) lorsque m et M sont finis; le cas
o ù l'un o u l'autre d e ces nombres est infini est trivial.
Remarque, -Les inégalités (5) prouvent qu'une fonction continue ne peut avoir
une dérivée à droite égale à +CO en tout point d'un intervalle (cf. 1, p. 43, exerc. 6).
3. Le théorème des accroissements finis pour les fonctions vectorlelles
THÉORÈME 2. - Soit f une fonction vectorielle d&nie et continue dans un intervalle fermé
borné 1 = (a, b) de R (où a < b) et prenant ses valeurs dans un espace normé E sur
soit g une fonction numérique continue et croissante dans 1. On suppose que f et g admettent
une dérivée à droite en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b[ d'une partie