FVR 1.24
DÉRIVÉES
5 2
dénombrable A de cet intemalle (ga(x) pouvant être infinie en certains des points
x $ A), et qu'en chacun de ces points on a
(6)
Il fd' (x) I I < &(x).
La démonstration suit une marche tout à fait analogue à celle de la prop. 2.
Soient E > O un nombre arbitraire, et (a,) la suite obtenue en rangeant dans un
certain ordre les points de A. Soit J l'ensemble des points y E 1 tels que, pour tout
x tel que a < x < y, on ait
nous allons montrer que J = 1. On voit d'abord, comme dans la prop. 2, que J
est un intervalle d'origine a; si c est son extrémité, on a c E J; en effet, pour tout
x < c, on a la relation (8), et a fortiori
d'où, en faisant tendre x vers c dans cette inégalité, résulte, en raison de la continuité de f, que c satisfait à (8).
Montrons qu'on a nécessairement c = 6. En effet, supposons c < 6, et d'abord
que c $ A; f i (c) et gd(c) existent donc et vérifient (6) ; supposons en premier lieu
que ga(c) (qui est nécessairement 2 O) soit finie; alors on peut toujours écrire
f,' (c) = ugd(c), avec llull 6 1 ; la fonction f (x) - ug(x) ayant au point c une
dérivée à droite nulle, il existe un y tel que c < y < b et que, pour c < x < y,
on ait
et, en tenant compte de (8), où x est remplacé par c
On aurait donc y E J, ce qui est contradictoire. Supposons ensuite qu'on ait c $ A
et ga(c) = +CO; il existe alors un y tel que c < y 6 b et que, pour c < x < y, on
ait, d'une part
llf(x) - f(c)ll < (Ilfi(c>ll + 1) (X - 6)
DÉRIVÉES
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dénombrable A de cet intemalle (ga(x) pouvant être infinie en certains des points
x $ A), et qu'en chacun de ces points on a
(6)
Il fd' (x) I I < &(x).
La démonstration suit une marche tout à fait analogue à celle de la prop. 2.
Soient E > O un nombre arbitraire, et (a,) la suite obtenue en rangeant dans un
certain ordre les points de A. Soit J l'ensemble des points y E 1 tels que, pour tout
x tel que a < x < y, on ait
nous allons montrer que J = 1. On voit d'abord, comme dans la prop. 2, que J
est un intervalle d'origine a; si c est son extrémité, on a c E J; en effet, pour tout
x < c, on a la relation (8), et a fortiori
d'où, en faisant tendre x vers c dans cette inégalité, résulte, en raison de la continuité de f, que c satisfait à (8).
Montrons qu'on a nécessairement c = 6. En effet, supposons c < 6, et d'abord
que c $ A; f i (c) et gd(c) existent donc et vérifient (6) ; supposons en premier lieu
que ga(c) (qui est nécessairement 2 O) soit finie; alors on peut toujours écrire
f,' (c) = ugd(c), avec llull 6 1 ; la fonction f (x) - ug(x) ayant au point c une
dérivée à droite nulle, il existe un y tel que c < y < b et que, pour c < x < y,
on ait
et, en tenant compte de (8), où x est remplacé par c
On aurait donc y E J, ce qui est contradictoire. Supposons ensuite qu'on ait c $ A
et ga(c) = +CO; il existe alors un y tel que c < y 6 b et que, pour c < x < y, on
ait, d'une part
llf(x) - f(c)ll < (Ilfi(c>ll + 1) (X - 6)