No 3
et d'autre part
FVR 1.25
d'où
et o n conclut comme précédemment. Enfin, si o n a c = a,, il existe un y tel que
c < y < b et que, pour c < x < y, o n ait
d'où en, tenant compte d e (8), o ù x est remplacé par c,
ce qui entraîne de nouveau contradiction. L a démonstration se termine comme
celle de la propr. 2.
C.Q.F.D.
Remarques. - 1) Ici encore, on peut remplacer dans l'énoncé du th. 2 l'intervalle
(a, b ) par )a, b ) et <( dérivée à droite * par (( dérivée à gauche n.
2) Nous montrerons plus tard comment on peut préciser les cas d'égalité dans la
relation (7), et aussi comment on peut généraliser le th. 2 au cas où E est un espace
localement convexe quelconque, à l'aide d'une autre méthode de démonstration qui
permet de déduire le th. 2 du th. 1.
COROLLAIRE. - Pour qu'une fonction vectorielle continue dans un interualle 1 c R, à
ualeurs dans un espace normé E sur R, soit constante dans 1, il sufit qu'elle ait une dérivée à
droite nulle en tous les points du complémentaire (par rapport à 1) d'une partie dénombrable
de 1.
Remarque. - Les démonstrations des th. 1 et 2 font intervenir de façon essentielle les
propriétés topologiques particulières au corps R; on peut en effet donner des exemples
de corps valués K pour lesquels il existe des applications continues non constantes de
K dans lui-même qui ont en tout point une dérivée nulle (cf. 1, p. 44, exerc. 2).
PROPOSITION 3. - Soit f une fonction vectorielle à ualeurs dans un espace normé E sur R,
d$nie et continue dans un intervalle 1 R, dérivable à droite dans le complémentaire B
(par rapport à 1) d'une partie dénombrable de 1 ; quels que soient les points x, E B, x E 1,
y E 1, on a ( e n supposant par exemple x < y)
(9) Il f ( y ) - f (x) - fi ( ~ 0 )
(Y - XI 1 1 a (Y - XI a s B , x < z < u
s"p
Ilfi (4 A fA ( ~ 0 )
11
et d'autre part
FVR 1.25
d'où
et o n conclut comme précédemment. Enfin, si o n a c = a,, il existe un y tel que
c < y < b et que, pour c < x < y, o n ait
d'où en, tenant compte d e (8), o ù x est remplacé par c,
ce qui entraîne de nouveau contradiction. L a démonstration se termine comme
celle de la propr. 2.
C.Q.F.D.
Remarques. - 1) Ici encore, on peut remplacer dans l'énoncé du th. 2 l'intervalle
(a, b ) par )a, b ) et <( dérivée à droite * par (( dérivée à gauche n.
2) Nous montrerons plus tard comment on peut préciser les cas d'égalité dans la
relation (7), et aussi comment on peut généraliser le th. 2 au cas où E est un espace
localement convexe quelconque, à l'aide d'une autre méthode de démonstration qui
permet de déduire le th. 2 du th. 1.
COROLLAIRE. - Pour qu'une fonction vectorielle continue dans un interualle 1 c R, à
ualeurs dans un espace normé E sur R, soit constante dans 1, il sufit qu'elle ait une dérivée à
droite nulle en tous les points du complémentaire (par rapport à 1) d'une partie dénombrable
de 1.
Remarque. - Les démonstrations des th. 1 et 2 font intervenir de façon essentielle les
propriétés topologiques particulières au corps R; on peut en effet donner des exemples
de corps valués K pour lesquels il existe des applications continues non constantes de
K dans lui-même qui ont en tout point une dérivée nulle (cf. 1, p. 44, exerc. 2).
PROPOSITION 3. - Soit f une fonction vectorielle à ualeurs dans un espace normé E sur R,
d$nie et continue dans un intervalle 1 R, dérivable à droite dans le complémentaire B
(par rapport à 1) d'une partie dénombrable de 1 ; quels que soient les points x, E B, x E 1,
y E 1, on a ( e n supposant par exemple x < y)
(9) Il f ( y ) - f (x) - fi ( ~ 0 )
(Y - XI 1 1 a (Y - XI a s B , x < z < u
s"p
Ilfi (4 A fA ( ~ 0 )
11