FVR 1.26
DÉRIVÉES
Il suffit e n effet d'appliquer le th. 2 e n remplaçant f par la fonction
et g par la fonction linéaire dont la dérivée est sup
Ilfi ( 2 ) - f i (x,) 11.
z e B , x < z < y
L e th. 2 s'étend aux fonctions vectorielles d'une variable complexe:
PROPOSITION 4. - Soit f une fonction vectorielle d'une variable complexe déJinie, continue
et dérivable dans une partie ouverte convexe A du corps C , à valeurs dans un espace normé E
sur le corps C . Si on a Ilf'(z) I I < mpour tout z E A, on a /If ( 6 ) - f (a) I I < m 1 6 - a 1
pour tout couple de points a, b de A.
1
Posons e n effet g ( t ) = --- f ( a + t(b - a ) ) pour O < t < 1; comme
6 - a
g t ( t ) = f f ( a + t(b - a ) ) , l'application d u th. 2 à la fonction g donne aussitôt la
proposition.
COROLLAIRE. - Pour qu'une fonction vectorielle f d'une variable complexe, d@ie et
continue dans un ensemble A c C , à valeurs dans un espace normé sur C, soit constante, il
sufit qu'elle ait une dérivée nulle en tout point de A.
E n effet, soit a u n point quelconque de A; l'ensemble B des points z de A
o ù f ( z ) = f (a) est fermé puisque f est continue; il est aussi ouvert par application
de la prop. 4 (avec m = 0) à u n voisinage ouvert convexe, contenu dans A, d'un
point quelconque de B ; donc il est identique à A.
PROPOSITION 5. - Soit f une fonction vectorielle d'une variable complexe, déJinie, continue
et dérivable dans un ensemble ouvert convexe A c C, à valeurs dans un espace normé sur le
corps C ; quels que soient les points x,, x et y dans A, on a
(10) Ilf ( Y ) - f (4 - f'(x0) (Y - 4 I l < l Y - xl - sup IlfW - f'(x0) Il.
. Z E A
II suffit d'appliquer le th. 2 à la fonction
g ( t ) = f ( x + t(y - x ) ) - ft(x0) ( y - x)t
dans l'intervalle (0, 1).
4. Continuité des dérivées
PROPOSITION 6. -$oient 1 un intervalle ouvert de R, x, une des extrémités de 1, f une
fonction vectorielle d@nie et continue dans 1, prenant ses valeurs dans un espace norme' complet
E sur R; on suppose que f admet une dérivée à droite aux points du complémentaire B, par
rapport à 1, d3unepartie dénombrable de 1. Pour que fi ( x ) ait une limite lorsque x tend vers
x, en restant dans B et # x,, il faut et il su@ que f ( y ) - (' ) ait une limite c lorsque
Y - x
(x, y) tend vers (x,, x,) de sorte que x E 1, y E 1, x # x,, y # xo et x # y. Dans ces condi-
DÉRIVÉES
Il suffit e n effet d'appliquer le th. 2 e n remplaçant f par la fonction
et g par la fonction linéaire dont la dérivée est sup
Ilfi ( 2 ) - f i (x,) 11.
z e B , x < z < y
L e th. 2 s'étend aux fonctions vectorielles d'une variable complexe:
PROPOSITION 4. - Soit f une fonction vectorielle d'une variable complexe déJinie, continue
et dérivable dans une partie ouverte convexe A du corps C , à valeurs dans un espace normé E
sur le corps C . Si on a Ilf'(z) I I < mpour tout z E A, on a /If ( 6 ) - f (a) I I < m 1 6 - a 1
pour tout couple de points a, b de A.
1
Posons e n effet g ( t ) = --- f ( a + t(b - a ) ) pour O < t < 1; comme
6 - a
g t ( t ) = f f ( a + t(b - a ) ) , l'application d u th. 2 à la fonction g donne aussitôt la
proposition.
COROLLAIRE. - Pour qu'une fonction vectorielle f d'une variable complexe, d@ie et
continue dans un ensemble A c C , à valeurs dans un espace normé sur C, soit constante, il
sufit qu'elle ait une dérivée nulle en tout point de A.
E n effet, soit a u n point quelconque de A; l'ensemble B des points z de A
o ù f ( z ) = f (a) est fermé puisque f est continue; il est aussi ouvert par application
de la prop. 4 (avec m = 0) à u n voisinage ouvert convexe, contenu dans A, d'un
point quelconque de B ; donc il est identique à A.
PROPOSITION 5. - Soit f une fonction vectorielle d'une variable complexe, déJinie, continue
et dérivable dans un ensemble ouvert convexe A c C, à valeurs dans un espace normé sur le
corps C ; quels que soient les points x,, x et y dans A, on a
(10) Ilf ( Y ) - f (4 - f'(x0) (Y - 4 I l < l Y - xl - sup IlfW - f'(x0) Il.
. Z E A
II suffit d'appliquer le th. 2 à la fonction
g ( t ) = f ( x + t(y - x ) ) - ft(x0) ( y - x)t
dans l'intervalle (0, 1).
4. Continuité des dérivées
PROPOSITION 6. -$oient 1 un intervalle ouvert de R, x, une des extrémités de 1, f une
fonction vectorielle d@nie et continue dans 1, prenant ses valeurs dans un espace norme' complet
E sur R; on suppose que f admet une dérivée à droite aux points du complémentaire B, par
rapport à 1, d3unepartie dénombrable de 1. Pour que fi ( x ) ait une limite lorsque x tend vers
x, en restant dans B et # x,, il faut et il su@ que f ( y ) - (' ) ait une limite c lorsque
Y - x
(x, y) tend vers (x,, x,) de sorte que x E 1, y E 1, x # x,, y # xo et x # y. Dans ces condi-