No 4
THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS
FVR 1.27
tions, f se prolonge par continuité au point x,, f i ( x ) tend vers c lorsque x tend vers x, (en
restant dans B) et la fonction f prolongée (définie dans 1 c {x,)) admet au point xo
une dérivée égale à c.
Supposons par exemple que x, soit l'extrémité de 1. Montrons d'abord que si
fd (x) tend vers e lorsque x tend vers x, en restant dans B et # x,, (Y) -f
tend
Y - x
vers c; cela résulte aussitôt du th. 2 appliqué à la fonction f (2) - cz, qui donne
pour x < y < x,. Inversement, si f(y) - f ( x ) tend vers c, pour tout E > 0, il
Y - X
existe h > O tel que les conditions lx - x,l < h, ly - x,l < h (x # x,, y # x,)
entraînent
Mais pour tout x E B et # x,, tel que lx - x,l < h, il existe k > O (dépendant de
x) tel que la relation x < y < x + k entraîne
d'où, en tenant compte de (1 1) :
pour lx - x,l < h, x E B et x # x,, ce qui prouve que fi (x) tend vers c. En outre,
de la relation (1 1) on tire d'abord que
ce qui prouve (critère de Cauchy) que f a une limite d au point x,, lorsque x tend
vers ce point en restant dans 1 et # x,; faisant alors tendre x vers x, dans (1 l), il
vient,poury~I,y # x,et Iy - x,l C h,
ce qui prouve que c
continuité à 1 r\ (x,).
est la dérivée au point x, de la fonction f prolongée par
Remarque. - Un raisonnement analogue, basé sur le th. 1, montre que si f est une
fonction numérique telle que f,' ( x ) tende vers + co au point xo, le rapport
( f ( Y ) - f ( x ) ) l ( y - x )
tend aussi vers +a, et réciproquement; si en outre f a une limite finie au point xo
(ce qui ici n'est plus une conséquence de l'hypothèse), la fonction f prolongée au
point xo par continuité a une dérivée égale à +CO en ce point.