FVR 1.28
3 3. DERIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR
1. Dérivées d'ordre n
Soit f une fonction vectorielle d'une variable réelle, définie, continue et dérivable
dans un intervalle 1. Si la dérivée f ' existe dans un voisinage (par rapport
à 1) d'un point x, E 1, et est dérivable au point x,, sa dérivée est appelée la
dérivée seconde de f au point x,, et se note f1'(x,) ou D2f(x,). Si cette dérivée
seconde existe en tout point de 1 (ce qui implique que f ' existe et est continue dans
1), x i-t f "(x) est une fonction vectorielle qu'on désigne par la notation f " ou D2f.
Par récurrence, on définit de même la dérivée n-ème (ou dérivée d'ordre n) de f, qu'on
note f(n) ou Dnf; par définition, elle a pour valeur au point x, E 1 la dérivée de la
fonction f(n-l) au point x,: cette définition suppose donc l'existence de toutes les
dérivées f(k) d'ordre k 6 n - 1 dans un voisinage de x, par rapport à 1, et la
dérivabilité de f(" au point x,.
On dira que f est n fois dérivable au point x, (resp. dans un intervalle) si elle
admet une dérivée n-ème en ce point (resp. dans cet intervalle). On dit que f est
ind$iniment dérivable dans 1 si, pour tout entier n > O, elle admet une dérivée
d'ordre n dans 1.
Par récurrence sur rn, on voit que
De façon précise, lorsque l'un des deux membres de (1) est défini, l'autre est défini
et lui est égal.
PROPOSITION 1. - L' ensemble des fonctions uectorielles déjïnies dans un intervalle 1 c R,
prenant leurs valeurs dans un même espace uectoriel topologique E, et admettant une dérivée
n-èrne dans 1, est un espace vectoriel sur R, et f i-t Dnf est une application linéaire de cet
espace dans l'espace vectoriel des applications de 1 dans E.
On démontre en effet par récurrence sur n les formules
lorsque f et g ont une dérivée n-ème dans 1 (a constante).
PROPOSITION 2 ((< formule de Leibniz ))). - Soient E, F, G trois espaces vectoriels
to@ologiques sur R, (x, y) H [x . y] une application bilinéaire continue de E x F dans G.
Si f (resp. g) est déJinie dans un intervalle 1 c R, prend ses valeurs dans E (resp. F)
3 3. DERIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR
1. Dérivées d'ordre n
Soit f une fonction vectorielle d'une variable réelle, définie, continue et dérivable
dans un intervalle 1. Si la dérivée f ' existe dans un voisinage (par rapport
à 1) d'un point x, E 1, et est dérivable au point x,, sa dérivée est appelée la
dérivée seconde de f au point x,, et se note f1'(x,) ou D2f(x,). Si cette dérivée
seconde existe en tout point de 1 (ce qui implique que f ' existe et est continue dans
1), x i-t f "(x) est une fonction vectorielle qu'on désigne par la notation f " ou D2f.
Par récurrence, on définit de même la dérivée n-ème (ou dérivée d'ordre n) de f, qu'on
note f(n) ou Dnf; par définition, elle a pour valeur au point x, E 1 la dérivée de la
fonction f(n-l) au point x,: cette définition suppose donc l'existence de toutes les
dérivées f(k) d'ordre k 6 n - 1 dans un voisinage de x, par rapport à 1, et la
dérivabilité de f(" au point x,.
On dira que f est n fois dérivable au point x, (resp. dans un intervalle) si elle
admet une dérivée n-ème en ce point (resp. dans cet intervalle). On dit que f est
ind$iniment dérivable dans 1 si, pour tout entier n > O, elle admet une dérivée
d'ordre n dans 1.
Par récurrence sur rn, on voit que
De façon précise, lorsque l'un des deux membres de (1) est défini, l'autre est défini
et lui est égal.
PROPOSITION 1. - L' ensemble des fonctions uectorielles déjïnies dans un intervalle 1 c R,
prenant leurs valeurs dans un même espace uectoriel topologique E, et admettant une dérivée
n-èrne dans 1, est un espace vectoriel sur R, et f i-t Dnf est une application linéaire de cet
espace dans l'espace vectoriel des applications de 1 dans E.
On démontre en effet par récurrence sur n les formules
lorsque f et g ont une dérivée n-ème dans 1 (a constante).
PROPOSITION 2 ((< formule de Leibniz ))). - Soient E, F, G trois espaces vectoriels
to@ologiques sur R, (x, y) H [x . y] une application bilinéaire continue de E x F dans G.
Si f (resp. g) est déJinie dans un intervalle 1 c R, prend ses valeurs dans E (resp. F)