No 2
DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR
FVR 1.29
et admet une dérivée n-ème dam 1, [f.g] admet dans 1 une dérivée n-ème donnée par la
formule
+ (p) [f'"-P).gp)] + . . . + [f. g(")].
La formule (4) se démontre encore par récurrence sur n (compte tenu de la
n- 1
n-1
relation (p) = ( ) + ( ) entre coefficients binomiaux).
P-1
On vérifie de même la formule suivante (où les hypothèses sont les mêmes que
dans la prop. 2) :
Les propositions précédentes ont été énoncées pour des fonctions n fois dérivables
dans un intervalle; nous laissons au lecteur le soin d'énoncer les propositions analogues pour les fonctions n fois dérivables en un point.
2. Formule de Taylor
Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle 1 c R, à valeurs dans un
espace normé E sur R; dire que f a une dérivée en un point a G 1 signifie que l'on a
( 6 )
f(x) - f(a) - ff(a) (x - a)
lim
= O
x + a , x a I , x # a
X - a
autrement dit, que f est G approxirnativcment égale )> à la fonction linéaire
f (a) + f'(a) (x - a) au voisinage de a (cf. chap. V, où cette notion est développée
de façon générale). Nous allons voir que l'existence de la dérivée d'ordre n de f au
point a entraîne de la même manière que f est <( approximativement égale )> à un
polynôme en x, de degré n, à coefficients dans E (TG, X, p. 39) au voisinage de a.
De façon précise :
THÉORÈME 1. - Si la fonction f admet une dérivée n-ème au point a, on a
(X - a)
(X - a)"
f(x) - f(a) - f'(a) - - . . . -f(%)(a)
(7)
l !
n!
lim
= O.
x + a , x ~ I , x + a
(X - a)n
Procédons par récurrence sur n. Le théorème est vrai pour n = 1. Pour n