FVR 1.30
DÉRIVÉES
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quelconque, on peut, d'après l'hypothèse de récurrence, l'appliquer à la dérivée
f ' de f: pour tout E > O, il existe donc h > O tel que, si on pose
(2 - a)
(x - a)2 -
(X - a)"
g(x) = f(x) - f(a) - f'(a) - - f " ( 4
2!
. . . - f(n) (a)
1 !
n !
Appliquons le th. des accroissements finis (1, p. 22, th. 2) dans l'intervalle
d'extrémités a, x (avec lx - al < h) à la fonction vectorielle g et à la fonction
numérique croissante égale à E 1 y - aln/n si x > a, à - E 1 y - aln/n si x < a; il
vient Ilg(x) II ,< E lx - aln/n, ce qui démontre le théorème.
On peut donc écrire
où u(x) tend vers O lorsque x tend vers a en restant dans 1; cette formule est
dite formule de Taylor d'ordre n, relative au point a, et le second membre de
(8) est appelé le développement de Taylor d'ordre n de la fonction f au point a. Le
dernier terme rn(z) = u(x) (x - ~ ) ~ / n !
est appelé le reste de la formule de Taylor
d'ordre n.
Lorsque f admet une dérivée d'ordre n + 1 dans 1, on peut avoir en fonction de
cette dérivée (n + 1) -ème une majoration de 1 1 rn(x) 11
et non seulement dans un voisinage non précisé de a:
PROPOSITION 3. - Si Ilf(n+l)(~) II 6 M dans 1, on a
dans 1.
En effet, la formule est vraie pour n = 0, d'après 1,
valable dans 1 tout entier,
p. 23, th. 2. Démontrons-la
par récurrence sur n; d'après l'hypothèse de récurrence appliquée à f', on a
d'où la formule (9) par application du th. des accroissements finis (1, p. 23, th. 2).