No 2
DÉRIVÉES D'ORDRE SUPÉRIEUR
FVR 1.3 1
COROLLAIRE. - Si f est une fonction numériquejnie admettant une dérivée ( n + 1)-ème
dans 1, et si m 6 f ("+l)(x) < M dans 1, on a, pour tout x 2 a dans 1
le second membre ne pouvant être égal au premier (resp. au troisième) que si f ( " + l ) est
constante et égale à m (resp. M) dans l'intervalle (a, x).
La démonstration se fait de la même manière, mais en appliquant le th. 1 de 1,
p. 17.
Remarques. - 1) On a déjà noté, au cours de la démonstration du th. 1, que si f
admet une dérivée n-ème dans 1, et si
(11)
f ( x ) =a, +- a,(x - a) + a,(x - a ) ) + ... + a,(x - a), -P r,(x)
est son développement de Taylor d'ordre n au point a, le développement de
Taylor d'ordre n - 1 de f' au point a est
On dit qu'il s'obtient en dérivant terme à terme le développement (1 1 ) de f.
2) Dans les mêmes hypothèses, les coefficients a, de (1 1) sont déterminés par
récurrence par les relations
a. = f (a)
al = lim
f (4 - f (a)
x-+a
X - a
f ( x ) - f ( a ) - a,(x - a)
a, = lim
x-+a
( X - a)=
f ( x ) - f ( a ) - a,(x - a) - . . . - a,-,(x -
a, = lim
x - r a
( X - a),
Dans le cas où a = O, on conclut de là en particulier que, si f ( x p ) (f entier > 0)
admet une dérivée d'ordrepn dans un voisinage de O, le développement de Taylor
d'ordre@ de cette fonction n'est autre que
r,(xP) étant le reste du développement (cf. V, p. 1 1).
3 ) La définition de la dérivée d'ordre n et les résultats qui précèdent se généralisent de façon immédiate aux fonctions d'une variable complexe; nous
n'insistons pas davantage ici sur cette question, qui sera reprise en détail dans un
Livre ultérieur de cet ouvrage.