F V R 1.32
DÉRIVÉES
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8 4. F O N C T I O N S C O N V E X E S D ' U N E V A R I A B L E RÉELLE
Soient H une partie de R, f une fonction numérique finie définie dans H, G le
graphe ou ensemble représentatif de la fonction f dans R x R = R2, ensemble
des points M, = (x, f ( x ) ) , où x parcourt H. Nous conviendrons de dire qu'un
point (a, b) de R2 tel que a E H est au-dessus (resp. strictement au-dessus, au-dessous,
strictement au-dessous) de G si on a b 2 f (a) (resp. 6 > f (a), b Q f (a), b < f (a)).
Si A = (a, a') et B = (6, b') sont deux points de R2, nous désignerons par A B le
segment fermé d'extrémités A et B ; si a < 6, A B est le graphe de la fonction
6' - a'
linéaire a' + - ( x - a) définie dans (a, 6 ) ; nous désignerons par @ ( A B ) la
b - a
b' - a'
pente - de ce segment, et ferons usage du lemme suivant, dont la vérification
b - a
est immédiate :
Lemme. - Soient A = (a, a'), B = (b, b'), C = (c, C I ) trois points de R2 tels que
a < b < c. Les propositions suivantes sont équivalentes :
a) B est au-dessous de A C ;
b) C est au-dessus de la droitepassantpar A et B ;
Fig. 1
c) A est au-dessus de la droitepassantpar 16 et C;
d ) P ( W P ( A C ) ;
e)
p(BC).
Le lemme est encore exact quand on y remplace au-dessus (resp. (( audessous ))) par <( strictement au-dessus )) (resp. << strictement au-dessous )>) et le
signe Q par < (fig. 1).
1. Définition des fonctions convexes
DÉFINITION 1. - On dit qu'une fonction numérique finie f, deJinie dans un intervalle
(1 c R, est convexe dans 1, si, quels que soient les points x, x' de 1 (x < x'), tout point M,