No 1
FONCTIONS CONVEXES
FVR 1.33
du graphe G de f tel que x 6 z 6 x' est au-dessous du segment M x M , (ou, ce qui
revient au même, si tout point de ce segment est au-dessus de G) (fig. 2).
O' x
L
x'
X
Fig. 2
Tenant compte de la représentation paramétrique d'un segment (TG, VI,
p. 5), la condition pour que f soit convexe dans I est que l'on ait l'inégalité
pour tout couple (x, x') de points de I et tout A E (0, 1).
La définition 1 est encore équivalente à la suivante: l'ensemble des points de R2
situés au-dessus du graphe G de f est convexe. En effet, cette condition est évidemment
suffisante pour que f soit convexe dans 1; elle est aussi nécessaire, car si f est
convexe dans 1, et si (x, y), (x', y') sont deux points situés au-dessus de 6, on a
y 2 f(x),yf >, f(xl),d'où,pourO < A < 1,
A y + (1 - A) y' >, A f (x) + (1 - A) f (x') 2f (Ax + (1 - 1 ) ~ ' )
d'après (l), ce qui montre que tout point du segment d'extrémités (x, y) et (x', y')
est au-dessus de G.
Remarque. - O n voit de même que l'ensemble des points situés strictement au-dessus
de G est convexe. Réciproquement, si cet ensemble est convexe, on a
Ay + ( 1 - A)y' > f (Ax + (1 - A)x')
pour O < A < 1 et y > f (x), y' > f (x') ; en faisant tendre y vers f ( x ) et y' vers f (x')
dans cette formule, il en résulte que f est convexe.
Exemples. - 1 ) Toute fonction linéaire affine (numérique) ax + b est convexe
dans R.
2) La fonction x2 est convexe dans Pi, car on a
l x 2 + ( 1 - A)xf2 - (1% + ( 1 - A ) x ' ) ~ = A(1 - A)(x - x')' > O
pour O < A < 1.
3) La fonction 1x1 est convexe dans R, car on a
Ihx + (1 - h)x' 1 < A 1x1 + (1 - A)lx'l
p o u r 0 < A < 1.
Il est clair que si f est convexe. dans 1, sa restriction à tout intervalleJ c I est
convexe dans J.