FVR 1.34
DÉRIVÉES
5 4
Soient f une fonction convexe dans 1, x, x' deux points de 1 tels que x < x';
si z E 1 est extérieur à (x, x'), M, est au-dessus de la droite D joignant M, et Mx,;
c'est une conséquence immédiate du lemme.
On en déduit que, si z est un point tel que x < z < x', et tel que M, soit sur
le segment M, M. ,
alors, pour tout autre point z' tel que x < z' < x', M,# est
aussi sur le segment M,Md, car il résulte de ce qui précède que M,, doit être
à la fois au-dessus et au-dessous de ce segment; en d'autres termes, f est alors
égale à une fonction linéaire afJine dans (x, x').
DÉFINITION 2. - On dit qu' une fonction numériquejnief, définie dans un intervalle 1 c R,
est strictement convexe dans 1, si quels que soient les points x, x' de 1 (x < x'), tout point M,
du graphe G de f tel que x < z < x' est strictement au-dessous du segment M,M,, (ou,
ce qui revient au même, si tout point de ce segment, distinct des extrémités, est
strictement au-dessus de G) .
En d'autres termes, on doit avoir l'inégalité
pour tout couple (x, x') de points distincts de 1 et tout A tel que O < A < 1.
Les remarques précédant la déf. 2 montrent que, pour qu'une fonction f
convexe dans 1 soit strictement convexe, il faut et il suffit qu'il n'existe aucun
intervalle contenu dans 1 (et non réduit à un point) tel que la restriction de f à cet
intervalle soit linéaire a$Ene.
Des exemples donnés ci-dessus, le premier et le troisième ne sont pas des fonctions
strictement convexes; par contre, on voit que x2 est une fonction strictement convexe
dans R; un calcul analogue montre que 1/x est strictement convexe dans )O, + m(.
PROPOSITION 1. - Soit f une fonction numériquejnie, convexe (resp. strictement convexe)
dans un intervalle 1 c R. Pour toute famille (xi), , i,p de p 2 2 points distincts de 1, et
toute famille (hi), , , ,, de p nombres réelstels que O < Ai < 1 et 5 hi = 1, on a
i = l
(resp.
(4)
La proposition (pour les fonctions convexes) se réduisant à l'inégalité (1)
p ;
;
l
pour p = 2, nous raisonnerons par récurrence sur p > 2. Le nombre p = 2 Ai
1 = 1
est > O; il est immédiat que si a et b sont le plus petit et le plus grand des xi, on a
1 P - 1
Ai c 6, autrement dit le point x = - Z hixi appartient à 1, et
z = 1
p i = 1
DÉRIVÉES
5 4
Soient f une fonction convexe dans 1, x, x' deux points de 1 tels que x < x';
si z E 1 est extérieur à (x, x'), M, est au-dessus de la droite D joignant M, et Mx,;
c'est une conséquence immédiate du lemme.
On en déduit que, si z est un point tel que x < z < x', et tel que M, soit sur
le segment M, M. ,
alors, pour tout autre point z' tel que x < z' < x', M,# est
aussi sur le segment M,Md, car il résulte de ce qui précède que M,, doit être
à la fois au-dessus et au-dessous de ce segment; en d'autres termes, f est alors
égale à une fonction linéaire afJine dans (x, x').
DÉFINITION 2. - On dit qu' une fonction numériquejnief, définie dans un intervalle 1 c R,
est strictement convexe dans 1, si quels que soient les points x, x' de 1 (x < x'), tout point M,
du graphe G de f tel que x < z < x' est strictement au-dessous du segment M,M,, (ou,
ce qui revient au même, si tout point de ce segment, distinct des extrémités, est
strictement au-dessus de G) .
En d'autres termes, on doit avoir l'inégalité
pour tout couple (x, x') de points distincts de 1 et tout A tel que O < A < 1.
Les remarques précédant la déf. 2 montrent que, pour qu'une fonction f
convexe dans 1 soit strictement convexe, il faut et il suffit qu'il n'existe aucun
intervalle contenu dans 1 (et non réduit à un point) tel que la restriction de f à cet
intervalle soit linéaire a$Ene.
Des exemples donnés ci-dessus, le premier et le troisième ne sont pas des fonctions
strictement convexes; par contre, on voit que x2 est une fonction strictement convexe
dans R; un calcul analogue montre que 1/x est strictement convexe dans )O, + m(.
PROPOSITION 1. - Soit f une fonction numériquejnie, convexe (resp. strictement convexe)
dans un intervalle 1 c R. Pour toute famille (xi), , i,p de p 2 2 points distincts de 1, et
toute famille (hi), , , ,, de p nombres réelstels que O < Ai < 1 et 5 hi = 1, on a
i = l
(resp.
(4)
La proposition (pour les fonctions convexes) se réduisant à l'inégalité (1)
p ;
;
l
pour p = 2, nous raisonnerons par récurrence sur p > 2. Le nombre p = 2 Ai
1 = 1
est > O; il est immédiat que si a et b sont le plus petit et le plus grand des xi, on a
1 P - 1
Ai c 6, autrement dit le point x = - Z hixi appartient à 1, et
z = 1
p i = 1