No 2
FONCTIONS CONVEXES
FVR 1.35
P - 1
l'hypothèse de récurrence entraîne pf (x) < 2 hi f (xi); d'autre part, on a,
i=1
d'après (1)
On raisonne de même pour les fonctions strictement convexes en partant de
l'inégalité (2).
On dit qu'une fonction numérique finie f est concave (resp. strictement concave)
dans 1 si - f est convexe (resp. strictement convexe) dans 1. Il revient au même
de dire que, pour tout couple (x, x') de points distincts de 1 et tout h tel que
O < h < 1,ona
I
f (hx C (1 - h)xr) 2 hf (x) + (1 - h) f (x')
(resp. f ( h x + (1 - h)x') > Af(x) + (1 - A)f(x')).
2. Familles de fonctions convexes
PROPOSITION 2. - Soientf, (1 < i < p) p fonctions convexes dans un intervalle 1 c R,
P
et ci (1 < i < p) nombrespositij% quelconques; laj&ction f = 1 ciJ est convexe dans 1.
i = l
En outre, si pour un indice j au moins, fi est strictement convexe dans 1 et ci > O, f est
strictement convexe dans 1.
Cela résulte aussitôt de l'inégalité (1) (resp. (2)) appliquée à chacune des
f,, en multipliant les deux membres de l'inégalité relative à f, par ci, et ajoutant
membre à membre.
PROPOSITION 3. - Soit (fa) une famille de fonctions convexes dans un intervalle 1 c R ;
si l' enveloppe supérieure g de cette famille estjnie en tout point de 1, g est convexe dans 1.
l
En effet, l'ensemble des points (x, y) E R2 situés au-dessus du graphe de g est
l'intersection des ensembles convexes formés respectivement des points situés au/
dessus du graphe de chacune des fonctions f,; il est donc convexe.
!
PROPOSITION 4. - Soit H un ensemble de fonctions convexes dans un intervalle 1 c R ; si 8
est un Jiltre sur H qui converge simplement dans 1 vers une fonction numérique finie f,,
cette fonction est convexe dans 1.
11 suffit pour le voir de passer à la limite suivant 8 dans l'inégalité (1).