FVR 1.36
DÉRIVÉES
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3. Continuité ecdérivabilité des fonrctions convexes
PROPOSITION 5. - Pour qu'une fonction numérique jnie f soit convexe (resp. strictement
convexe) dans un intervalle 1, il faut et il sz@ que pour tout a E 1, la pente
soit une fonction croissante (resp. strictement croissante) de x dans 1 n C(a).
Cette proposition est une conséquence immédiate des déf. 1 et 2 et du lemme
de 1, p. 32.
PROPOSITION 6. - Soit f une fonction numériquejnie, convexe dam un intervalle 1 c R.
E n tout point a intérieur à 1, f est continue, admet une déride à droite et une dérivée à
gauchejnies, et on a f i (a) 6 fi (a).
f(') - f (' 1 est croissante (prop.
En eflèt, pour x E H et x > a, la fonction x 1--t - x - a
5) et bornée inférieurement, puisque si y < a et y E 1, on a
d'après la prop. 5; ccttc fonction admet donc une limite à droite finie au point a,
autrement dit/,' (a) existe ct est h i e ; en outre, en faisant tendre x vers a (x > a)
dans (5), il vient
pour tout y < a appartenant à 1. On démontre de même que f i (a) existe, et que
pour x E 1 et x > a. En faisant tendre x vers a ( x > a) dans cette dernière inégalité, il vient f i (a) < f i (a). L'existence des dérivées à droite et à gauche au
point a entraine cvidemmcnt Ia continuité de f en cc point.
COROLLAIRE 1. - Soit f unefonction convexe (resp. strictement convexe) dans 1; si a et b
sont deux points intérieurs à 1 tels que a < b, on a (fig. 3)
(resp.
(9)
La double inégalité ( 8 ) provient de (6) et ( 7 ) par simple changement de