FONCTIONS CONVEXES
FVR 1.37
Fig. 3
notation. D'autre part, si f est strictement convexe et c tel que a < c < 6, on a,
d'après (8) et la prop. 5
COROLLAIRE 2. - Si f est convexe (resp. strictement convexe) dans 1, f,' et fg sont croissantes (resp. strictement croissantes) dans l'intérieur de 1; l'ensemble des points de 1 où f n'est
pas dérivable est dénombrable, et f,' et f,' sont continues en tout point où f est dérivable.
La première partie résulte aussitôt de (8) (resp. (9)) et de l'inégalité
&'(a> < f,'(a).
Soient d'autre pari E l'ensemble des points x intérieurs à 1 où f n'est pas dérivable
(c'est-à-dire fi (x) < f,' (x)). Pour tout x E E, soit J, l'intervalle ouvert
) f ,' (x), f,' (x)(; il résulte de (8) que si x et y sont deux points de E tels que x < y,
on a u < v pour tout u EJ, et tout u E J,; autrement dit, lorsque x parcourt E, les
intervalles ouverts non vides J, sont deux à deux sans point commun; l'ensemble
de ces intervalles est donc dénombrable, et il en est par suite de même de E.
Enfin, f,' (resp. f,' ) étant croissante, a en tout point x intérieur à I une limite à
droite et une limite à gauche; la prop. 6 de 1, p. 26 montre alors que la limite à
droite de fd (resp. fi) au point x est égale à f,' (x), et sa limite à gauche à f,'(x) ;
d'où la dernière partie du corollaire.
Soient f une fonction convexe dans 1, a un point intérieur à I, D une droite
passant par le point Ma, d'équation y - f (a) = a(x - a). Il résulte des inégalités
(8) que si f,' (a) < a < f,' (a), tout point du graphe G de f est au-dessus de D, et, si f
est strictement convexe, Ma est le seul point commun à D et G; on dit que D est
une droite d'appui de G au point Ma. Inversement, si G est au-dessus de D, on a
f (x) - f (a) 2 a(x - a) pour tout x E 1, d'où f ( '
1 - f > a pour x 2 a, et
x - a
-
< a pour x < a; faisant tendre x vers a dans ces inegalités, il vient
x - a
FVR 1.37
Fig. 3
notation. D'autre part, si f est strictement convexe et c tel que a < c < 6, on a,
d'après (8) et la prop. 5
COROLLAIRE 2. - Si f est convexe (resp. strictement convexe) dans 1, f,' et fg sont croissantes (resp. strictement croissantes) dans l'intérieur de 1; l'ensemble des points de 1 où f n'est
pas dérivable est dénombrable, et f,' et f,' sont continues en tout point où f est dérivable.
La première partie résulte aussitôt de (8) (resp. (9)) et de l'inégalité
&'(a> < f,'(a).
Soient d'autre pari E l'ensemble des points x intérieurs à 1 où f n'est pas dérivable
(c'est-à-dire fi (x) < f,' (x)). Pour tout x E E, soit J, l'intervalle ouvert
) f ,' (x), f,' (x)(; il résulte de (8) que si x et y sont deux points de E tels que x < y,
on a u < v pour tout u EJ, et tout u E J,; autrement dit, lorsque x parcourt E, les
intervalles ouverts non vides J, sont deux à deux sans point commun; l'ensemble
de ces intervalles est donc dénombrable, et il en est par suite de même de E.
Enfin, f,' (resp. f,' ) étant croissante, a en tout point x intérieur à I une limite à
droite et une limite à gauche; la prop. 6 de 1, p. 26 montre alors que la limite à
droite de fd (resp. fi) au point x est égale à f,' (x), et sa limite à gauche à f,'(x) ;
d'où la dernière partie du corollaire.
Soient f une fonction convexe dans 1, a un point intérieur à I, D une droite
passant par le point Ma, d'équation y - f (a) = a(x - a). Il résulte des inégalités
(8) que si f,' (a) < a < f,' (a), tout point du graphe G de f est au-dessus de D, et, si f
est strictement convexe, Ma est le seul point commun à D et G; on dit que D est
une droite d'appui de G au point Ma. Inversement, si G est au-dessus de D, on a
f (x) - f (a) 2 a(x - a) pour tout x E 1, d'où f ( '
1 - f > a pour x 2 a, et
x - a
-
< a pour x < a; faisant tendre x vers a dans ces inegalités, il vient
x - a