FVR 1.38
DÉRIVÉES
5 4
En particulier, si f est dérivable au point a, il n'existe qu'une seule droite d'appui de G au point M a , la tangente à G en M a .
Remarque. - Si j est une fonction strictement convexe dans un intervalle ouvert 1,
,fi est strictement croissante dans 1, donc trois cas seulement sont possibles, d'après la
prop. 2 de 1, p. 21 :
l 0 f est strictement décroissante dans 1;
Z0 f cst strictement croissante dans 1;
3 O il existe a E 1 tel que, pour x < a, f soit strictement décroissante, et, pour x 2 a,
strictement croissante.
Lorsque f cst convexc dans 1, mais non strictement convexe, f peut être constante
dans un intcrvalle contenu dans 1; soit J = )a, b[ le plus grand intervalle ouvert où
f est constante (c'est-à-dire l'intéricur de l'intervalle où fd(x) = O) ; f cst alors striciement décroissante dans l'intervalle formé des points x E 1 tels que x < a (s'il en
existe), strictement croissante dans l'intervalle formé des points x E 1 tels que x 3 b
(s'il en existe).
Dans tous les cas, on voit que f possède une limite à droite à l'origine de 1 (dans R),
une limite à gauche à l'extremité de 1; ces limites peuvent être finies ou infinies (cf. 1,
p. 51, exerc. 5,6 et 7). Par abus de langage, on dit parfois que la fonction continuc (à
valeurs dans ]R) égale à f dans l'inttkieur de 1, et prolongée par continuité aux
extrémités de 1, est convexe dans Ï.
4. Critères de convexité
PROPOSITION 7. - SoitJ une fonction numériquejnie, d&nie dans un intervalle 1 c R.
Pour que f soit convexe dam 1, il faut et il su@ que, pour tout couple de nombres a, b de
1 tels que a < O, et pour tout nombre réel p, la fonction f ( x ) + px atteigne sa borne
supérieure dans (a, O) en l'un des points a, b.
La condition cst nécessaire; en effet, comme px est convexe dans R, f ( x ) f px
est convexe dans 1; on peut donc se borner au cas où p = 0. Or, pour
x = Aa + (1 - A)b(O G h 6 l),
on a
f (4 G A S (a) f- ( 1 - A ) f (b) G Max (f (4,f (b)).
La condition cst su$sante. Prenons en effet p = - f (b) - f
et soit g(x) -
6 - a
f ( x ) -t px; on a g(a) = g(b), donc g(x) < g(a) pour tout x E (a, b), et on vérifie
aussitôt que cette inégalité équivaut à l'inégalité ( 1 ) où on a remplacé z par a et x'
par b.
PROPOSITION 8. - Pour qu'une fonction numérique jnie f soit convexe (resp. strictement
convexe) dans un intervalle ouvert 1 c Hi, il faut et il SUI@ qu'elle soit continue dans 1,
admette une dérivée en tout point du complémentaire B par rapport à 1 d'une partie dénombrable de cet intervalle, et que cette dérivée soil croissante (resp. strictement croissante) dans B.
La condition est nécessaire d'après la prop. 6 et son corollaire 2 (1, p. 3 6 ) ;
montrons qu'elle est suffisante. Supposons donc f' croissante dans B, et supposons
que f ne soit pas convexe; il existerait donc (1, p. 36, prop. 5) trois points a, b, c de
DÉRIVÉES
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En particulier, si f est dérivable au point a, il n'existe qu'une seule droite d'appui de G au point M a , la tangente à G en M a .
Remarque. - Si j est une fonction strictement convexe dans un intervalle ouvert 1,
,fi est strictement croissante dans 1, donc trois cas seulement sont possibles, d'après la
prop. 2 de 1, p. 21 :
l 0 f est strictement décroissante dans 1;
Z0 f cst strictement croissante dans 1;
3 O il existe a E 1 tel que, pour x < a, f soit strictement décroissante, et, pour x 2 a,
strictement croissante.
Lorsque f cst convexc dans 1, mais non strictement convexe, f peut être constante
dans un intcrvalle contenu dans 1; soit J = )a, b[ le plus grand intervalle ouvert où
f est constante (c'est-à-dire l'intéricur de l'intervalle où fd(x) = O) ; f cst alors striciement décroissante dans l'intervalle formé des points x E 1 tels que x < a (s'il en
existe), strictement croissante dans l'intervalle formé des points x E 1 tels que x 3 b
(s'il en existe).
Dans tous les cas, on voit que f possède une limite à droite à l'origine de 1 (dans R),
une limite à gauche à l'extremité de 1; ces limites peuvent être finies ou infinies (cf. 1,
p. 51, exerc. 5,6 et 7). Par abus de langage, on dit parfois que la fonction continuc (à
valeurs dans ]R) égale à f dans l'inttkieur de 1, et prolongée par continuité aux
extrémités de 1, est convexe dans Ï.
4. Critères de convexité
PROPOSITION 7. - SoitJ une fonction numériquejnie, d&nie dans un intervalle 1 c R.
Pour que f soit convexe dam 1, il faut et il su@ que, pour tout couple de nombres a, b de
1 tels que a < O, et pour tout nombre réel p, la fonction f ( x ) + px atteigne sa borne
supérieure dans (a, O) en l'un des points a, b.
La condition cst nécessaire; en effet, comme px est convexe dans R, f ( x ) f px
est convexe dans 1; on peut donc se borner au cas où p = 0. Or, pour
x = Aa + (1 - A)b(O G h 6 l),
on a
f (4 G A S (a) f- ( 1 - A ) f (b) G Max (f (4,f (b)).
La condition cst su$sante. Prenons en effet p = - f (b) - f
et soit g(x) -
6 - a
f ( x ) -t px; on a g(a) = g(b), donc g(x) < g(a) pour tout x E (a, b), et on vérifie
aussitôt que cette inégalité équivaut à l'inégalité ( 1 ) où on a remplacé z par a et x'
par b.
PROPOSITION 8. - Pour qu'une fonction numérique jnie f soit convexe (resp. strictement
convexe) dans un intervalle ouvert 1 c Hi, il faut et il SUI@ qu'elle soit continue dans 1,
admette une dérivée en tout point du complémentaire B par rapport à 1 d'une partie dénombrable de cet intervalle, et que cette dérivée soil croissante (resp. strictement croissante) dans B.
La condition est nécessaire d'après la prop. 6 et son corollaire 2 (1, p. 3 6 ) ;
montrons qu'elle est suffisante. Supposons donc f' croissante dans B, et supposons
que f ne soit pas convexe; il existerait donc (1, p. 36, prop. 5) trois points a, b, c de