No 4
FONCTIONS CONVEXES
FVR 1.39
accroissements finis (1, p. 23, th. 1), on a
O n aurait donc
sup f ' ( x ) > inf f '(x) , contrairement à l'hypoX E B , Q < X < C
x € B , c < ~ < b
thèse que f ' est croissante dans B.
Si maintenantf' est supposée strictement croissante dans B, f est convexe et
ne peut être égale à une fonction linéaire affine dans aucun intervalle ouvert
-
contenu dans 1, car dans cet intervalle f ' serait constante, contrairement à
l'hypothèse.
COROLLAIRE. - SoitJune fonction numériquejnie, continue et deux fois dérivable dans un
intervalle I c R ; pour que f soit convexe dans 1, il faut et il su@t que f "(x) O pour tout
x E 1; pour que f soit strictement convexe dans 1, il faut et il su&t que la condilion précédenie
soit vér$ée et en outre que l'ensemble des points x E 1 où f" (x) > O soitpartout dense dans 1.
Cela résulte aussitôt de la proposition précédente, et du corollaire de 1, p. 22.
Exemple. - * Dans l'intervalle )O, +a(, la fonction xr ( r réel quelconque) a unc
dérivée seconde égale à r ( r - I ) X ~ - ~ ;
donc, elle est strictement convexe si r > 1 ou
r < O, strictement concave si 0 < r < l*.
Pour énoncer un autre critère de convexité, nous poserons la définition suivante: étant donné le graphe H d'une fonction numérique finie définie dans un
intervalle 1 c R, et un point a intérieur à I, nous dirons qu'une droite D passant
par Ma = (a, f ( a ) ) est localement au-dessus (resp. localement au-dessous) de G en ce
point s'il existe un voisinage V c 1 de n tel que tout point de Il contenu dans
V x R soit au-dessus (resp. au-dessous) de G; nous dirons que D est localement sur
G au point Ma s'il existe un voisinage V c I de a tel que l'intersection de D et de
V x R soit identique à celle de G et de B x
(autrement dit, si D est à la lois
localement au-dessus et localement au-dessous de 6).
PROPOSITION 9. - Soit f une fonction numériquejnie, semi-continue supérieurement dans
un intervalle ouvert 1 c Pa. Pour que f soit comexe dans 1, il faut et il su&% que, pour tout
point Mx du graphe G d e f , toute droite localement au-dessus de G en ce point soit localement
sur G (au point Mx).
La condition est nécessaire; cn effet, si f est convexe dans 1, en tout point Ma
du graphe G def, il existe une droite d'appui A de G; A est au-dessous de 6, ct a
fortiori localement au-dessous de G (1, p. 37) ; si une droite D est localement au
dessus de G au point Ma, elle est localement au-dessus de A, donc coincide
nécessairement avec A, et par suite est localement sur G au point Pd,.
La condition est su@sante. En effet, supposons-la remplie, et supposons que f
FONCTIONS CONVEXES
FVR 1.39
accroissements finis (1, p. 23, th. 1), on a
O n aurait donc
sup f ' ( x ) > inf f '(x) , contrairement à l'hypoX E B , Q < X < C
x € B , c < ~ < b
thèse que f ' est croissante dans B.
Si maintenantf' est supposée strictement croissante dans B, f est convexe et
ne peut être égale à une fonction linéaire affine dans aucun intervalle ouvert
-
contenu dans 1, car dans cet intervalle f ' serait constante, contrairement à
l'hypothèse.
COROLLAIRE. - SoitJune fonction numériquejnie, continue et deux fois dérivable dans un
intervalle I c R ; pour que f soit convexe dans 1, il faut et il su@t que f "(x) O pour tout
x E 1; pour que f soit strictement convexe dans 1, il faut et il su&t que la condilion précédenie
soit vér$ée et en outre que l'ensemble des points x E 1 où f" (x) > O soitpartout dense dans 1.
Cela résulte aussitôt de la proposition précédente, et du corollaire de 1, p. 22.
Exemple. - * Dans l'intervalle )O, +a(, la fonction xr ( r réel quelconque) a unc
dérivée seconde égale à r ( r - I ) X ~ - ~ ;
donc, elle est strictement convexe si r > 1 ou
r < O, strictement concave si 0 < r < l*.
Pour énoncer un autre critère de convexité, nous poserons la définition suivante: étant donné le graphe H d'une fonction numérique finie définie dans un
intervalle 1 c R, et un point a intérieur à I, nous dirons qu'une droite D passant
par Ma = (a, f ( a ) ) est localement au-dessus (resp. localement au-dessous) de G en ce
point s'il existe un voisinage V c 1 de n tel que tout point de Il contenu dans
V x R soit au-dessus (resp. au-dessous) de G; nous dirons que D est localement sur
G au point Ma s'il existe un voisinage V c I de a tel que l'intersection de D et de
V x R soit identique à celle de G et de B x
(autrement dit, si D est à la lois
localement au-dessus et localement au-dessous de 6).
PROPOSITION 9. - Soit f une fonction numériquejnie, semi-continue supérieurement dans
un intervalle ouvert 1 c Pa. Pour que f soit comexe dans 1, il faut et il su&% que, pour tout
point Mx du graphe G d e f , toute droite localement au-dessus de G en ce point soit localement
sur G (au point Mx).
La condition est nécessaire; cn effet, si f est convexe dans 1, en tout point Ma
du graphe G def, il existe une droite d'appui A de G; A est au-dessous de 6, ct a
fortiori localement au-dessous de G (1, p. 37) ; si une droite D est localement au
dessus de G au point Ma, elle est localement au-dessus de A, donc coincide
nécessairement avec A, et par suite est localement sur G au point Pd,.
La condition est su@sante. En effet, supposons-la remplie, et supposons que f