FVR 1.40
DÉRIVÉES
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ne soit pas convexe dans 1; il existerait alors deux points a, b de 1 (a < 6) tels qu'il
existe dcs points M, de G strictement au-dessus du segment M,M, (fig. 4).
Autrement dit, la fonction g(x) = f (x) - f (a) -
-
(x - a) prendrait
6 - a
des valeurs > O dans (a, 6 ) ; comme clie est finie et semi-continue supérieurement
dans cet intervalle compact, sa borne supérieure k dans [a, b) est finie et > O, et
0
a
c
b
X
Fig. 4
- 1
l'ensemble g(k) est fermé et non vide (TG, IV, p. 30, th. 3 et p. 29, prop. 1). Soit
- 1
c la borne inférieure de g(k) ; on a a < c < b, et au point Mc la droite D d'équation y = f (c) +
-
(x - c) est localement au-dessus de G ; mais elle ne
6 - a
peut être localement sur G en ce point, puisque, pour a < x < c, on a g(x) < k, ce
qui signifie que M, est strictement au-dessous de D. Nous aboutissons donc à une
contradiction, ce qui établit la proposition.
COROLLAIRE 1. -- Pour qu'une fonction numériquejnief, d@nie dans un intervalle ouvert
, et semi-continue supérieurement dans 1, soit convexe dans 1, il faut et il sufit que,
pour tout x E 1, il existe E > O tel que la relation 1 hl < E entraîne
f (4 2 (f(x + h) +f (x - 4 ) .
I
O
a-h a a+h
x