No 4
FONCTIONS CONVEXES
FVR 1.41
Nous avons seulement à démontrer que la condition est su$sante. En effet, si
en un point M a du graphc G d e 5 une droite D est localement au-dessus de G, elle
est localement sur G en ce point; car, dans le cas contraire, par exemple, un point
Ma+, serait strictement au-dessous de D, le point M a - , étant au-dessous de D;
le milieu du segment M a - ,Ma +, serait alors strictement au-dessous de D (fig. 5),
et en vertu de l'hypothèse M a serait a fortiori strictement au-dessous de D, ce qui
est absurde.
COROLLAIRE 2. - Soit f une fonction numérique $nie, déjinie dans un intervalle ouvert
I c R. Si, pour tout point x E 1, il existe un intervalle ouvert J, c I contenant x et tel que
la restriction de f à J, soit convexe dans J,, alors f est conaexe dans 1.
Il est clair en effet que f satisfait au critère de la prop. 8.