Exercices
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1) Soit f une fonction vectorielle d'une variable réelle, définie dans un intervalle 1 c R, et
dérivable en un point xo intérieur à 1. Montrer que le rapport
tend vers f'(xo) lorsque h et k tendent vers O par valeurs O. Réciproque.
* Montrer que la fonctionf, égale à x2 sin llx pour x # O, à O pour x = 0, est dérivable
en tout point, mais que (f (y) - f (z))/(y - z ) ne tend pas vers f'(0) lorsque y et z tendent
vers O en restant distincts et >O.,
2) Dans l'intervalle I = (0, l), on définit par récurrence une suite de fonctions continues
numériques (f,), de la manière suivante: On prend fo(x) = x; pour tout entier n 3 1, fn
est linéaire affine dans chacun des 3" intervalles
pour0 < k < 3n - l;enoutre,
on prend
Montrer que la suite (f,) converge uniformément dans 1 vers une fonction continue, qui n'a
de dérivée (finie ou infinie) en aucun point de l'intervalle )O, 1( (utiliser l'exerc. 1).
3) Soit Q(1) l'espace complet des fonctions numériques finies et continues définies dans
l'intervalle compact 1 = [a, b) de R, W(1) étant muni de la topologie de la convergence uniforme (TG, X, p. 4). Soit A la partie de W(1) formée des fonctions x telles que, pour un
point au moins t E (a, b( (dépendant de la fonction x), x ait au point t une dérivée à droite
finie. Montrer que dans Q(I), A est un ensembIe maigre (TG, IX, p. 53), et par suite son
complémentaire, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions continues dans 1, n'ayant de dérivée à
droite finie en aucun point de (a, b(, est un sous-espace de Baire de g ( I ) (TG, IX, p. 54).
(Soit A, l'ensemble des fonctions x E W(1) telle que, pour une valeur de t au moins satisfaisant à a < t 6 b - I/n (et dépendant de x) on ait Ix(tr) - x(t) 1 6 nlt' -- tl pour tout t'
tel que t < t' < t + Iln. Montrer que chacun des A, est un ensemble fermé rare dans Q(I) :
on remarquera pour cela que, dans Q(I), toute boule contient une fonction ayant une
dérivée à droite bornée dans (a, b(; d'autre part, pour tout E > O et tout entier m > 0, il
existe dans 1 une fonction continue ayant en tout point de (a, b( une dérivée à droite finie et
telle que, pour tout t E (a, b(, on ait 1 y(t) 1 < E et 1 yi(t) 1 3 m.)
4) Soient E un espace vectoriel topologique sur R, f une fonction vectorielle continue,
définie dans un intervalle ouvert 1 c R, et admettant en tout point de 1 une dérivée à droite
et une dérivée à gauche.
a) Soient U un ensemble ouvert non vide dans E, A la partie de 1 formée des points
x tels que fA(x) E U . Étant donné un nombre or > O, soit B la partie de 1 formée des
points x tels qu'il existe au moins un y E 1 vérifiant les conditions x - a < y < x et
(f (x) - f(y))/(x - y) E U; montrer que l'ensemble B est ouvert et que A n C B est
dénombrable (remarquer que ce dernier ensemble est formé d'origines d'intervalles
contigus à GB). En déduire que l'ensemble des points x E A tels que fg(x)$ Ü est dénombrable.
b) On suppose que E est un espace normé; I'image f (1) est aIors un espace métrique ayant une
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1) Soit f une fonction vectorielle d'une variable réelle, définie dans un intervalle 1 c R, et
dérivable en un point xo intérieur à 1. Montrer que le rapport
tend vers f'(xo) lorsque h et k tendent vers O par valeurs O. Réciproque.
* Montrer que la fonctionf, égale à x2 sin llx pour x # O, à O pour x = 0, est dérivable
en tout point, mais que (f (y) - f (z))/(y - z ) ne tend pas vers f'(0) lorsque y et z tendent
vers O en restant distincts et >O.,
2) Dans l'intervalle I = (0, l), on définit par récurrence une suite de fonctions continues
numériques (f,), de la manière suivante: On prend fo(x) = x; pour tout entier n 3 1, fn
est linéaire affine dans chacun des 3" intervalles
pour0 < k < 3n - l;enoutre,
on prend
Montrer que la suite (f,) converge uniformément dans 1 vers une fonction continue, qui n'a
de dérivée (finie ou infinie) en aucun point de l'intervalle )O, 1( (utiliser l'exerc. 1).
3) Soit Q(1) l'espace complet des fonctions numériques finies et continues définies dans
l'intervalle compact 1 = [a, b) de R, W(1) étant muni de la topologie de la convergence uniforme (TG, X, p. 4). Soit A la partie de W(1) formée des fonctions x telles que, pour un
point au moins t E (a, b( (dépendant de la fonction x), x ait au point t une dérivée à droite
finie. Montrer que dans Q(I), A est un ensembIe maigre (TG, IX, p. 53), et par suite son
complémentaire, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions continues dans 1, n'ayant de dérivée à
droite finie en aucun point de (a, b(, est un sous-espace de Baire de g ( I ) (TG, IX, p. 54).
(Soit A, l'ensemble des fonctions x E W(1) telle que, pour une valeur de t au moins satisfaisant à a < t 6 b - I/n (et dépendant de x) on ait Ix(tr) - x(t) 1 6 nlt' -- tl pour tout t'
tel que t < t' < t + Iln. Montrer que chacun des A, est un ensemble fermé rare dans Q(I) :
on remarquera pour cela que, dans Q(I), toute boule contient une fonction ayant une
dérivée à droite bornée dans (a, b(; d'autre part, pour tout E > O et tout entier m > 0, il
existe dans 1 une fonction continue ayant en tout point de (a, b( une dérivée à droite finie et
telle que, pour tout t E (a, b(, on ait 1 y(t) 1 < E et 1 yi(t) 1 3 m.)
4) Soient E un espace vectoriel topologique sur R, f une fonction vectorielle continue,
définie dans un intervalle ouvert 1 c R, et admettant en tout point de 1 une dérivée à droite
et une dérivée à gauche.
a) Soient U un ensemble ouvert non vide dans E, A la partie de 1 formée des points
x tels que fA(x) E U . Étant donné un nombre or > O, soit B la partie de 1 formée des
points x tels qu'il existe au moins un y E 1 vérifiant les conditions x - a < y < x et
(f (x) - f(y))/(x - y) E U; montrer que l'ensemble B est ouvert et que A n C B est
dénombrable (remarquer que ce dernier ensemble est formé d'origines d'intervalles
contigus à GB). En déduire que l'ensemble des points x E A tels que fg(x)$ Ü est dénombrable.
b) On suppose que E est un espace normé; I'image f (1) est aIors un espace métrique ayant une