§ 2
EXERCICES
FVR 1.43
base dénombrable, et il en est de même du sous-espace vectoriel fermé F de E engendré par
f (1), sous-espace qui contient fi (1) et fi (1). Déduire de a) que l'ensemble des points x E 1
tels que fd (x) # fi (x) est dénombrable. (Si (U,) est une base dénombrable de la topologie de
F, remarquer que pour deux points distincts a, b de F, il existe deux ensembles U,, U, sans
point commun et tels que a E Up et b E U,).
c) On prend pour E l'espace produit RI (espace des applications de 1 dans R, muni de la
topologie de la convergence simple), et pour tout x E 1, on désigne par g(x) l'application
t H lx - t 1 de 1 dans R. Montrer que g est continue et que, pour tout x E 1, on a g;(x) #
g; ( 4 .
5) Soit f une fonction vectorielle continue définie dans un intervalle ouvert 1 c R, à valeurs
dans un espace normé E sur R, et admettant en tout point de 1 une dérivée à droite.
a) Montrer que l'ensemble des points x E 1 tels que fi soit bornée dans un voisinage de x est
un ensemble ouvert partout dense dans 1 (utiliser le th. 2 de TG, IX, p. 56).
b) Montrer que l'ensemble des points de 1 où fi est continue est le complémentaire d'un
ensemble maigre dans 1 (cf. TG, IX, p. 114, exerc. 20).
6) Soit (r,) la suite des nombres rationnels appartenant à [O, l), rangés dans un certain ordre.
m
Montrer que la fonction f (x) = & 2 -,(x - r,) K est continue et dérivable en tout point
.- -
de R et admet une dérivée infinie en tout point rn. (Pour voir que f est dérivable en un point
x distinct des rn, distinguer deux cas suivant que la série de terme général 2-"(x - rn) -35 a
pour somme +CO ou est convergente; dans le second cas, remarquer que, pour tout x # O
et tout y # x, on a
O < (y% - &)/(y - x) < 4/3x%).
7) Soit f une fonction numérique définie dans un intervalle 1 c R, admettant une dérivée à
droite fi (xo) = O en un point de 1, et soit g une fonction vectorielle définie dans un voisinage
de y, = f (xo), et admettant en ce point une dérivée à droite et une dérivée à gauche (non
nécessairement identiques). Montrer que g of admet au point xo une dérivée à droite
égale à O.
8) Soit f une application de R dans lui-même, telle que l'ensemble C des points de R où f est
continue soit dense dans R, ainsi que son complémentaire A. Montrer que l'ensemble D des
points de C où f est dérivable à droite est un ensemble maigre. (Pour tout entier n, soit En
l'ensemble des points a E W tels qu'il existe deux points x, y tels que O < x - a < lin,
O < y - a < Ilnet
f ( 4 - f (a) - f (y) - f (a) > 1
x - a
Y - a
Montrer que l'intérieur de En est partout dense dans R. Pour cela, noter que pour tout
intervalle ouvert non vide 1 dans R, il y a un point b E 1 n A; montrer que pour a < b et
b - a assez petit, on a a E En.)
9) Soit g ( N ) l'espace des suites bornées x = (x,),,~ de nombres réels, muni de la norme
llxll = sup lxn/ ; donner un exemple d'une application continue t H f (t) = ( f,(t))n,N de R
dans a ( N ) telle que chacune des fonctions fn soit dérivable pour t = O, mais que f ne soit
pas dérivable en ce point.
1) Soit f une fonction numérique définie et continue à gauche dans un intervalle ouvert
1 = )a, b( de R; on suppose qu'en tous les points du complémentaire B par rapport à 1
d'une partie dénombrable de 1, f soit croissante à droite, c'est-à-dire qu'en tout point x E B, il
existe y tel que x < y < b et que, pour tout z tel que x < z < y, on ait f (x) $ f (2). Montrer
que f est croissante dans 1 (raisonner comme dans la prop. 2).
EXERCICES
FVR 1.43
base dénombrable, et il en est de même du sous-espace vectoriel fermé F de E engendré par
f (1), sous-espace qui contient fi (1) et fi (1). Déduire de a) que l'ensemble des points x E 1
tels que fd (x) # fi (x) est dénombrable. (Si (U,) est une base dénombrable de la topologie de
F, remarquer que pour deux points distincts a, b de F, il existe deux ensembles U,, U, sans
point commun et tels que a E Up et b E U,).
c) On prend pour E l'espace produit RI (espace des applications de 1 dans R, muni de la
topologie de la convergence simple), et pour tout x E 1, on désigne par g(x) l'application
t H lx - t 1 de 1 dans R. Montrer que g est continue et que, pour tout x E 1, on a g;(x) #
g; ( 4 .
5) Soit f une fonction vectorielle continue définie dans un intervalle ouvert 1 c R, à valeurs
dans un espace normé E sur R, et admettant en tout point de 1 une dérivée à droite.
a) Montrer que l'ensemble des points x E 1 tels que fi soit bornée dans un voisinage de x est
un ensemble ouvert partout dense dans 1 (utiliser le th. 2 de TG, IX, p. 56).
b) Montrer que l'ensemble des points de 1 où fi est continue est le complémentaire d'un
ensemble maigre dans 1 (cf. TG, IX, p. 114, exerc. 20).
6) Soit (r,) la suite des nombres rationnels appartenant à [O, l), rangés dans un certain ordre.
m
Montrer que la fonction f (x) = & 2 -,(x - r,) K est continue et dérivable en tout point
.- -
de R et admet une dérivée infinie en tout point rn. (Pour voir que f est dérivable en un point
x distinct des rn, distinguer deux cas suivant que la série de terme général 2-"(x - rn) -35 a
pour somme +CO ou est convergente; dans le second cas, remarquer que, pour tout x # O
et tout y # x, on a
O < (y% - &)/(y - x) < 4/3x%).
7) Soit f une fonction numérique définie dans un intervalle 1 c R, admettant une dérivée à
droite fi (xo) = O en un point de 1, et soit g une fonction vectorielle définie dans un voisinage
de y, = f (xo), et admettant en ce point une dérivée à droite et une dérivée à gauche (non
nécessairement identiques). Montrer que g of admet au point xo une dérivée à droite
égale à O.
8) Soit f une application de R dans lui-même, telle que l'ensemble C des points de R où f est
continue soit dense dans R, ainsi que son complémentaire A. Montrer que l'ensemble D des
points de C où f est dérivable à droite est un ensemble maigre. (Pour tout entier n, soit En
l'ensemble des points a E W tels qu'il existe deux points x, y tels que O < x - a < lin,
O < y - a < Ilnet
f ( 4 - f (a) - f (y) - f (a) > 1
x - a
Y - a
Montrer que l'intérieur de En est partout dense dans R. Pour cela, noter que pour tout
intervalle ouvert non vide 1 dans R, il y a un point b E 1 n A; montrer que pour a < b et
b - a assez petit, on a a E En.)
9) Soit g ( N ) l'espace des suites bornées x = (x,),,~ de nombres réels, muni de la norme
llxll = sup lxn/ ; donner un exemple d'une application continue t H f (t) = ( f,(t))n,N de R
dans a ( N ) telle que chacune des fonctions fn soit dérivable pour t = O, mais que f ne soit
pas dérivable en ce point.
1) Soit f une fonction numérique définie et continue à gauche dans un intervalle ouvert
1 = )a, b( de R; on suppose qu'en tous les points du complémentaire B par rapport à 1
d'une partie dénombrable de 1, f soit croissante à droite, c'est-à-dire qu'en tout point x E B, il
existe y tel que x < y < b et que, pour tout z tel que x < z < y, on ait f (x) $ f (2). Montrer
que f est croissante dans 1 (raisonner comme dans la prop. 2).