FVR 1.44
D É R I V ~ E S
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2) Dans le corps Q, des nombres p-adiques (TC, III, p. 84, exerc. 23), tout entier p-adique
x E Z, admet un développement et un seul de la forme x = a, + a,$ + . . . + anpn + . . . ,
où les a, sont des entiers rationnels tels que O < ai < p - 1 pour tout j. Pour tout z E Z,, on
pose
f (x) = a, + a@ + . . - + anp2, + . . . ;
montrer que, dans Z,, f est une fonction continue, qui n'est constante dans le voisinage
d'aucun point et admet en tout point une dériuLc nulle.
3) a) Soient K l'ensemble triadique de Cantor (TG, IV, p. 9), In, , les 2, intervalles contigues à K et de longueur 1/3n+1 (1 < fi < Zn), K,, les Z n + l intervalles fermés de longueur
1/3n+1 dont la réunion est le complémentaire de la réunion des 1,, , pour m < n. Soit cc un
nombre tel que 1 < cr < 312; pour tout n, on désigne par f, la fonction continue croissante
dans (O, l), égale à O pour x = O, constante dans chacun des intervalles 1,. , tels que
m < n, linéaire affine dans chacun des intervalles K,, , (1 < p < Zn+l) et telle que fi (x) =
ccn+l dans chacun des intérieurs de ces derniers intervalles. Montrer que la série de terme
généralf,, est uniformément convergente dans (0, l), a pour somme une fonction f qui admet
partout une dérivée à droite (finie ou non) dans (O, 1(, et que l'on a,fi(x) = +a en tout
point de K distinct des origines des intervalles contigus In, , .
b) Soit g une application continue croissante de [O, 1) sur lui-même, constante dans chacun
des intervalles In,, (TG, IV, p. 63, exerc. 9). Si h = f + g, montrer que h admet une
dérivée à droite égale à fi ( x ) en tout point x de (O, l(.
4) Soit f une fonction numérique finie et continue dans un intervalle compact (a, b) de R et
admettant cn tout point de l'intervalle ouvcrt )a, b( une dérivée à droite. Soient m et M les
bornes inférieure et supérietire (finies ou non) de fd dans )a, b(.
a) Montrer que, lorsque x et y parcourent )a, b( de sorte que x f y, l'ensemble des valeurs de
(f (x) - f (y))/(x - y) est identique à l'intervalle )m, M( si f n'est pas linéaire affine. (Se
ramener à prouver que si fd prend deux valeurs de signes contraires en deux points c, d de
)a, b( (avec c < d), il existe deux points distincts de l'intervalle )c, d( où f prend la même
valeur).
b) Si f admet en outre en tout point de )a, b[ une dérivée à gauche, les bornes inférieures
(resp. supérieures) de fi et fi dans )a, b( sont égales.
c) En déduire que si.f est dérivable dans )a, b(, l'image p a r y de tout intervalle contenu dans
)a, b( est un intervalle, et par suite est connexe (utiliser a)).
5) Soit f l'application vectorielle de 1 = [O, 1) dans R3 d6finie comme suit: pour O < t < +,
f ( t ) = (-4t,O,O); pour $ < t <$, f ( t ) = ( - 1 , 4 t - 1,O); pour + < t < $ , f ( t ) =
( - 1, 1, 4t - 2); enfin, pour
< t < 1, f ( t ) = (4t - 4, 1, 1). Montrer que l'ensemble
convexe engendré par l'ensemble f;(I) n'est pas identique i l'adhérence de l'ensemble des
valeurs de (Y) - (' ) lorsque (x, y) parcourt l'ensemble des couples de points distincts de 1
Y - x
(cf. exerc. 4 a)).
6) Dans l'intervalle 1 = (- 1, + I), on considère la fonction vectorielle f, à valeurs dans R2,
définie de la manière suivante: f (t) = (0, O) pour - 1 < t < 0;
pour O < t < 1. Montrer que f est dérivable dans ) - 1, + 1(, mais que l'image de cet
intervalle par f' n'est pas un ensemble connexe dans R2 (cf. exerc. 4 c)).
7 ) Soit f une fonction vectorielle continue définie dans un intervalle ouvert 1 c Pa. à valeurs
dans un espace normé E sur R, et admettant en tout point de I une dérivée à droite. Montrer
que l'ensemble des points de 1 où f admet une dérivée est le complémentaire d'un ensemble
maigre dans 1 (utiliser l'exerc. 5 b) de 1, p. 43, et la prop. 6 de 1, p. 26).
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2) Dans le corps Q, des nombres p-adiques (TC, III, p. 84, exerc. 23), tout entier p-adique
x E Z, admet un développement et un seul de la forme x = a, + a,$ + . . . + anpn + . . . ,
où les a, sont des entiers rationnels tels que O < ai < p - 1 pour tout j. Pour tout z E Z,, on
pose
f (x) = a, + a@ + . . - + anp2, + . . . ;
montrer que, dans Z,, f est une fonction continue, qui n'est constante dans le voisinage
d'aucun point et admet en tout point une dériuLc nulle.
3) a) Soient K l'ensemble triadique de Cantor (TG, IV, p. 9), In, , les 2, intervalles contigues à K et de longueur 1/3n+1 (1 < fi < Zn), K,, les Z n + l intervalles fermés de longueur
1/3n+1 dont la réunion est le complémentaire de la réunion des 1,, , pour m < n. Soit cc un
nombre tel que 1 < cr < 312; pour tout n, on désigne par f, la fonction continue croissante
dans (O, l), égale à O pour x = O, constante dans chacun des intervalles 1,. , tels que
m < n, linéaire affine dans chacun des intervalles K,, , (1 < p < Zn+l) et telle que fi (x) =
ccn+l dans chacun des intérieurs de ces derniers intervalles. Montrer que la série de terme
généralf,, est uniformément convergente dans (0, l), a pour somme une fonction f qui admet
partout une dérivée à droite (finie ou non) dans (O, 1(, et que l'on a,fi(x) = +a en tout
point de K distinct des origines des intervalles contigus In, , .
b) Soit g une application continue croissante de [O, 1) sur lui-même, constante dans chacun
des intervalles In,, (TG, IV, p. 63, exerc. 9). Si h = f + g, montrer que h admet une
dérivée à droite égale à fi ( x ) en tout point x de (O, l(.
4) Soit f une fonction numérique finie et continue dans un intervalle compact (a, b) de R et
admettant cn tout point de l'intervalle ouvcrt )a, b( une dérivée à droite. Soient m et M les
bornes inférieure et supérietire (finies ou non) de fd dans )a, b(.
a) Montrer que, lorsque x et y parcourent )a, b( de sorte que x f y, l'ensemble des valeurs de
(f (x) - f (y))/(x - y) est identique à l'intervalle )m, M( si f n'est pas linéaire affine. (Se
ramener à prouver que si fd prend deux valeurs de signes contraires en deux points c, d de
)a, b( (avec c < d), il existe deux points distincts de l'intervalle )c, d( où f prend la même
valeur).
b) Si f admet en outre en tout point de )a, b[ une dérivée à gauche, les bornes inférieures
(resp. supérieures) de fi et fi dans )a, b( sont égales.
c) En déduire que si.f est dérivable dans )a, b(, l'image p a r y de tout intervalle contenu dans
)a, b( est un intervalle, et par suite est connexe (utiliser a)).
5) Soit f l'application vectorielle de 1 = [O, 1) dans R3 d6finie comme suit: pour O < t < +,
f ( t ) = (-4t,O,O); pour $ < t <$, f ( t ) = ( - 1 , 4 t - 1,O); pour + < t < $ , f ( t ) =
( - 1, 1, 4t - 2); enfin, pour
< t < 1, f ( t ) = (4t - 4, 1, 1). Montrer que l'ensemble
convexe engendré par l'ensemble f;(I) n'est pas identique i l'adhérence de l'ensemble des
valeurs de (Y) - (' ) lorsque (x, y) parcourt l'ensemble des couples de points distincts de 1
Y - x
(cf. exerc. 4 a)).
6) Dans l'intervalle 1 = (- 1, + I), on considère la fonction vectorielle f, à valeurs dans R2,
définie de la manière suivante: f (t) = (0, O) pour - 1 < t < 0;
pour O < t < 1. Montrer que f est dérivable dans ) - 1, + 1(, mais que l'image de cet
intervalle par f' n'est pas un ensemble connexe dans R2 (cf. exerc. 4 c)).
7 ) Soit f une fonction vectorielle continue définie dans un intervalle ouvert 1 c Pa. à valeurs
dans un espace normé E sur R, et admettant en tout point de I une dérivée à droite. Montrer
que l'ensemble des points de 1 où f admet une dérivée est le complémentaire d'un ensemble
maigre dans 1 (utiliser l'exerc. 5 b) de 1, p. 43, et la prop. 6 de 1, p. 26).