§ 2
EXERCICES
FVR 1.45
8) O n considère, dans l'intervalle (0, l), une famille (1,. , ) d'intervalles ouverts deux à deux
sans point commun, définie par récurrence comme suit: l'entier n prend toutes les valeurs
>O; pour chaque valeur de n, l'entier fi prend les valeurs 1, 2, . . ., 2"; on a IoSl = )3, $(;
siJ, est la réunion des intervalles 1,, , correspondant aux nombres m < n, le complémentaire
de Jn est réunion de P+l intervalles fermés Kn, (1 < p < 2"+l) deux à deux sans point
commun. Si K,, , est un intervalle (a, b), on prend alors pour In+,, , l'intervalle ouvert
b - a
d'extrémités b - - b - a ( l + & ) e t b - - .
3
Soit E l'ensemble parfait complémentaire
3.2"
de la réunion des In,, par rapport à (0, 1). Définir dans (0, 1) une fonction numérique continue f qui admette en tout point de (O, 1 [ une dérivée à droite, mais qui n'ait pas de dérivée
à gauche aux points de l'ensemble non dénombrable dcs points de E distincts des extrémités
d'intervalles contigus à E (cf. exerc. 7). (Prendre f (x) = O dans E, définir convenablement
f dans chacun des intervalles In, , de sorte que, pour tout x E E, il y ait des points y < x
n'appartenant pas à E, arbitrairement voisins de x, et tcls que fb) -.f(x) = - l ) .
y - x
9) Soient f et g deux fonctions numériques finies et continues dans (a, b) et ayant chacune
une dérivée finie dans )a, b(; montrer qu'il existe c tel que a < c < b, et que
7 10) Soient f et g deux fonctions numériques finies, strictement positives, continues et
dérivables dans un intervalle ouvert 1. Montrer que, si f' et g' sont strictcrnent positives, et
f ' / g r strictement croissante dans 1, ou bien f/g est strictement croissante dans 1, ou bien il
existe un nombre c E 1, tel que f/g soit strictement décroissante pour x < c, et strictement
croissante pour x 2 c (remarquer que si on a f'(x)/g'(x) < f (x)/g(x), on a aussi
S'(Y)/~'(Y) < f ( Y ) / ~ ( Y )
pour tout y < x ) .
I l ) Soit f une fonction à valeurs complexes, continue dans un intervalle ouvert 1, ne s'y
annulant pas, et admettant en tout point de 1 une dérivée à droite. Pour que 1 f 1 soit croissant dans 1, il faut et il suffit que W( fiIf) > O dans 1.
fl 12) Soient f une fonction numérique dérivable dans un intervalle ouvert 1, g sa dérivée
dans 1, (a, b) un intervalle compact contenu dans 1; on suppose que g est dérivable dans
l'intervalle ouvert )a, b(, mais n'est pas nécessairement continue à droite (resp. à gauche)
a u point a (resp. 6); montrer qu'il existe c tel que a < c < b, et que
d b ) - d a ) = (b - a)gf(c)
(utiliser l'exerc. 4 c) de 1, p. 43).
13) On appelle dérivée symétrique d'une fonction vectorielle f en un point xo intérieur à l'intervalle où est définie f, la limite (lorsqu'elle existe) de
f (xo + h) - f (xo - h)
2h
lorsque h tend
vers O en restant >O.
a) Généraliser à la dérivée symétrique les règles de calcul établies au $ 1 pour la dérivée.
b) Montrer que les th. 1 et 2 du 4 2 sont encore vrais quand on y remplace les mots (< dérivée
à droite )> par « dérivée symétrique ».
14) Soit f une fonction vectorielle définie et continue dans un intervalle compact 1 =
(a, b) de R, à valeurs dans un espace normé sur R. O n suppose que f admet une dérivée à
droite en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b( d'une partie dénombrable
A de cet intervalle. Montrer qu'il existe un point x E )a, b( n CA tel quc
Ilf(6) - f(a)ll
Ilfi(x)ll(b - a).
(Raisonner par l'absurde, en décomposant (a, b( en trois intervalles (a, t(, (t, t + h( et
EXERCICES
FVR 1.45
8) O n considère, dans l'intervalle (0, l), une famille (1,. , ) d'intervalles ouverts deux à deux
sans point commun, définie par récurrence comme suit: l'entier n prend toutes les valeurs
>O; pour chaque valeur de n, l'entier fi prend les valeurs 1, 2, . . ., 2"; on a IoSl = )3, $(;
siJ, est la réunion des intervalles 1,, , correspondant aux nombres m < n, le complémentaire
de Jn est réunion de P+l intervalles fermés Kn, (1 < p < 2"+l) deux à deux sans point
commun. Si K,, , est un intervalle (a, b), on prend alors pour In+,, , l'intervalle ouvert
b - a
d'extrémités b - - b - a ( l + & ) e t b - - .
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Soit E l'ensemble parfait complémentaire
3.2"
de la réunion des In,, par rapport à (0, 1). Définir dans (0, 1) une fonction numérique continue f qui admette en tout point de (O, 1 [ une dérivée à droite, mais qui n'ait pas de dérivée
à gauche aux points de l'ensemble non dénombrable dcs points de E distincts des extrémités
d'intervalles contigus à E (cf. exerc. 7). (Prendre f (x) = O dans E, définir convenablement
f dans chacun des intervalles In, , de sorte que, pour tout x E E, il y ait des points y < x
n'appartenant pas à E, arbitrairement voisins de x, et tcls que fb) -.f(x) = - l ) .
y - x
9) Soient f et g deux fonctions numériques finies et continues dans (a, b) et ayant chacune
une dérivée finie dans )a, b(; montrer qu'il existe c tel que a < c < b, et que
7 10) Soient f et g deux fonctions numériques finies, strictement positives, continues et
dérivables dans un intervalle ouvert 1. Montrer que, si f' et g' sont strictcrnent positives, et
f ' / g r strictement croissante dans 1, ou bien f/g est strictement croissante dans 1, ou bien il
existe un nombre c E 1, tel que f/g soit strictement décroissante pour x < c, et strictement
croissante pour x 2 c (remarquer que si on a f'(x)/g'(x) < f (x)/g(x), on a aussi
S'(Y)/~'(Y) < f ( Y ) / ~ ( Y )
pour tout y < x ) .
I l ) Soit f une fonction à valeurs complexes, continue dans un intervalle ouvert 1, ne s'y
annulant pas, et admettant en tout point de 1 une dérivée à droite. Pour que 1 f 1 soit croissant dans 1, il faut et il suffit que W( fiIf) > O dans 1.
fl 12) Soient f une fonction numérique dérivable dans un intervalle ouvert 1, g sa dérivée
dans 1, (a, b) un intervalle compact contenu dans 1; on suppose que g est dérivable dans
l'intervalle ouvert )a, b(, mais n'est pas nécessairement continue à droite (resp. à gauche)
a u point a (resp. 6); montrer qu'il existe c tel que a < c < b, et que
d b ) - d a ) = (b - a)gf(c)
(utiliser l'exerc. 4 c) de 1, p. 43).
13) On appelle dérivée symétrique d'une fonction vectorielle f en un point xo intérieur à l'intervalle où est définie f, la limite (lorsqu'elle existe) de
f (xo + h) - f (xo - h)
2h
lorsque h tend
vers O en restant >O.
a) Généraliser à la dérivée symétrique les règles de calcul établies au $ 1 pour la dérivée.
b) Montrer que les th. 1 et 2 du 4 2 sont encore vrais quand on y remplace les mots (< dérivée
à droite )> par « dérivée symétrique ».
14) Soit f une fonction vectorielle définie et continue dans un intervalle compact 1 =
(a, b) de R, à valeurs dans un espace normé sur R. O n suppose que f admet une dérivée à
droite en tous les points du complémentaire par rapport à (a, b( d'une partie dénombrable
A de cet intervalle. Montrer qu'il existe un point x E )a, b( n CA tel quc
Ilf(6) - f(a)ll
Ilfi(x)ll(b - a).
(Raisonner par l'absurde, en décomposant (a, b( en trois intervalles (a, t(, (t, t + h( et