FVR 1.46
DÉRIVÉES
§ 3
(t + h, b( avec t $ A; si k = Ilf(b) - f(a)/l/(b - a), noter que pour h assez petit, on a
Ijf ( t + h) - f (t) /j < k.h, et utiliser le th. 2 de 1, p. 23, dans les autres intervalles.)
§ 3
1) Avec les mêmes hypothèses que dans la prop. 2 de 1, p. 24, démontrer la formule
2) Avec les notations de la prop. 2 de 1. p. 28, on suppose que la relation [a. y] = O pour
tout y E F entraîne a = O dans E. Dans ces conditions, si g, (O < i < n) sont n + 1 fonctions vectorielles à valeurs dans E, définies dans un intervalle 1 de R et telles que, pour toute
fonction vectorielle f à valeurs dans F et n fois dérivable dans 1, on ait identiquement
[go.f] + [g1.f'] + . a . + [gn.f('q = O
les fonctions g, sont identiquement nulles.
3) Avec les notations de l'exerc. 2 et la même hypothèse sur [x. y], on suppose que chacune
des fonctions gk est n fois dérivable dans 1; pour toute fonction f, n fois dérivable dans 1, à
valeurs dans F, on pose
ce qui définit les fonctions hi (O < i < n) sans ambiguïté (exerc. 2); montrer que l'on a
identiquement
[ho.f] - [h.f]' + [h2.fIn + . . a + (-l)n[hn.f](n) = [go.f] + [gl.f'] +...+ [gn.f(n)].
4) Soit f une fonction vectorielle n fois dérivable dans un intervalle 1 c R. Montrer que
pour I/x E 1, on a identiquement
(raisonner par récurrence sur n).
5 ) Soient u et v deux fonctions numériques finies n fois dérivables dans un intervalle 1 c R.
Si l'on pose Dn(u/u) = ( - l)nwn/vn+l en tout point x où v(x) # O, montrer que l'on a
(posant w = u/v, dériver n fois la relation u = wu).
6 ) Soit f une fonction vectorielle définie dans un intervalle ouvert 1 c R, prenant ses valeurs
dans un espace normé E.
On pose Af (x; hl) = f ( x + hl) - f (x), puis, par récurrence,
APf(x;h1, hz ,..., hp-1, h,) = Ap-lf(x + hp; hl ,... ,hp-1) - AP-lf(x;hl ,..., hp-1);
ces fonctions sont donc définies, pour chaque x E 1 , lorsque les h, sont assez petits.