§ 3
EXERCICES
FVR 1.47
a) Si la fonction f est n fois dérivable au point x (et par suite n - 1 fois dérivable dans un
voisinage de x), on a
(raisonner par récurrence sur n, en utilisant le th. des accroissements finis).
b ) Si f est n fois dérivable dans l'intervalle 1, on a
/j Anf (x; hi, . . . , h,) - fCn)(xo) hlhz. . . hn 1 1
< Ihlhz. . . hnl sup llf'n'(x + tlhl + . . + tnh,) - f(n)(xo) 11
la borne supérieure étant prise dans l'ensemble des (tl) tels que O < tt < 1 pour 1 < i < n
(même méthode).
c) Si f est une fonction numérique n fois dérivable dans 1, on a
Anf (x; hl, h2, . . . , h,) = hlhz. . .hJ'n'(~ + Blhi + - . + Bnhn)
les nombres 8, appartenant à (O, 1) (même méthode, en utilisant 1 , p. 31, corollaire).
7) Soient f une fonction numérique finie n fois dérivable au point xo, g une fonction vectorielle n fois dérivable au point y, = f (xo). Soient
les développements de Taylor d'ordre n de f et g aux points xo et y. respectivement. Montrer
que la somme des n + 1 termes du developpement de Taylor d'ordre n de la fonction composée g of au point xo est égal à la somme des termes de degré < n dans le polynôme
bo + bl(alh + . . + anhn) + bz(alh + . - . + ~ , h " ) ~
+ . . + bn(alh + . - . + ~ , h " ) ~ .
En déduire les deux formules suivantes:
la somme étant étendue à tous les systèmes d'entiers positifs (ml), , i,, tels que
ml + 2m2 + - + qm, = n
et p désignant la somme ml + mz + - - . + m,.
8) Soient f une fonction numérique définie et n fois dérivable dans un intervalle 1, x,,
x2, . . . , xp des points distincts de 1, et nt (1 d i d p) p entiers > O tels que
On suppose qu'au point xi, f s'annule ainsi que ses ni - 1 premières dérivées pour 1 < i < p :
montrer qu'il existe un point E; intérieur au plus petit intervalle contenant les xi et tel que
f'"-"(4) = o.
9) Avec les mêmes notations que dans I'exerc. 8, on suppose que f est n fois dérivable dans 1
mais par ailleurs quelconque. Soit g le polynôme de degré n - 1 (à coefficients réels) tel
qu'au point xi (1 < i < fi), g et ses nt - 1 premières dérivées soient respectivement égaux
à f et ses nt - 1 premières dérivées. Montrer qu'on a
EXERCICES
FVR 1.47
a) Si la fonction f est n fois dérivable au point x (et par suite n - 1 fois dérivable dans un
voisinage de x), on a
(raisonner par récurrence sur n, en utilisant le th. des accroissements finis).
b ) Si f est n fois dérivable dans l'intervalle 1, on a
/j Anf (x; hi, . . . , h,) - fCn)(xo) hlhz. . . hn 1 1
< Ihlhz. . . hnl sup llf'n'(x + tlhl + . . + tnh,) - f(n)(xo) 11
la borne supérieure étant prise dans l'ensemble des (tl) tels que O < tt < 1 pour 1 < i < n
(même méthode).
c) Si f est une fonction numérique n fois dérivable dans 1, on a
Anf (x; hl, h2, . . . , h,) = hlhz. . .hJ'n'(~ + Blhi + - . + Bnhn)
les nombres 8, appartenant à (O, 1) (même méthode, en utilisant 1 , p. 31, corollaire).
7) Soient f une fonction numérique finie n fois dérivable au point xo, g une fonction vectorielle n fois dérivable au point y, = f (xo). Soient
les développements de Taylor d'ordre n de f et g aux points xo et y. respectivement. Montrer
que la somme des n + 1 termes du developpement de Taylor d'ordre n de la fonction composée g of au point xo est égal à la somme des termes de degré < n dans le polynôme
bo + bl(alh + . . + anhn) + bz(alh + . - . + ~ , h " ) ~
+ . . + bn(alh + . - . + ~ , h " ) ~ .
En déduire les deux formules suivantes:
la somme étant étendue à tous les systèmes d'entiers positifs (ml), , i,, tels que
ml + 2m2 + - + qm, = n
et p désignant la somme ml + mz + - - . + m,.
8) Soient f une fonction numérique définie et n fois dérivable dans un intervalle 1, x,,
x2, . . . , xp des points distincts de 1, et nt (1 d i d p) p entiers > O tels que
On suppose qu'au point xi, f s'annule ainsi que ses ni - 1 premières dérivées pour 1 < i < p :
montrer qu'il existe un point E; intérieur au plus petit intervalle contenant les xi et tel que
f'"-"(4) = o.
9) Avec les mêmes notations que dans I'exerc. 8, on suppose que f est n fois dérivable dans 1
mais par ailleurs quelconque. Soit g le polynôme de degré n - 1 (à coefficients réels) tel
qu'au point xi (1 < i < fi), g et ses nt - 1 premières dérivées soient respectivement égaux
à f et ses nt - 1 premières dérivées. Montrer qu'on a