FVR VII.20
LA FONCTION GAMMA
s 1
on a lim A(u(x); h, k ) = O quels que soient h > O et k > O (utiliser l'expression de u',
x - + m
tirée de l'exerc. 1 b) de VII, p. 19).
d) Avec les notations de c), montrer qu'il existe une constante cc telle que l'on ait u(x) =
v(x) + a, avec
où on a posé
(Remarquer que v(x + 1) - v(x) = g(x), et que lim A(v(x); h, k) = O quels que soient
X ' f W
h > O et k > O.)
3) a) Soit g une fonction définie et admettant une dérivée k-ème continue dans )O, +CG(,
telle que g(") soit décroissante dans cet intervalle et que lim g(")(x) = O. Montrer qu'il
x - + r n
existe une solution ct une seule u de l'équation u(x + 1) - u(x) = g(x) qui admette dans
)O, +CO( une dérivée k-ème croissante et prenne une valeur donnée en un point donné
(utiliser l'exerc. 1 b)).
6) Soit cc un nombre réel quelconque. Soit S, la fonction définie dans )O, +CO(, satisfaisant à
la relation
S,(x + 1) - S,(x) = xE
telle que S, (1) =O, et en outre telle que la dérivée de S, d'ordre égal à la partie entière
de (or + 1) ' soit croissante (fonction qui est unique d'après a)). Montrer que l'on a
SL(x) - Sa (1) = ccS,-l(x),
et
pour tout entierp 3 1, où C, est une constante qui, lorsque cc # - 1, est égale à
(cf. VII, p. 14, prop. 2 et VI, p. 23, exerc. 3).
r(x'2)
est la seule solution convexe de l'équation
4) Montrer que la fonction f (x) = - - -
X
U(X + 1) = I/xu(x) (remarquer que cette équation entraîne u(x + 2) = - + l 44, et
appliquer l'exerc. 1 a)).
5) Généraliser les lemmes 1 et 2 de VII, p. 6 et 7 aux fonctions logarithmiquement convexes
quelconques (cf. 1, p. 51, exerc. 2). Montrer que toute fonction logarithmiquement convexe
est convexe.
6) Soit +(x) = ~ ' ( X ) I ~ ( X ) ;
pour tout entier q > 1 et tout entier k tel que 1 < k < q - 1,
démontrer les formules
(Utiliser la formule (9) de VII, p. 3.)