EXERCICES
FVR VII.21
71) a) Soit g une fonction numérique continue pour x k O. Montrer que si g vérifie les
deux identités
elle vérifie aussi l'identité
b) En déduire que si une fonction g a une dérivée continue pour x 3 O et vérifie l'identité
elle est de la forme a(x - +), où a est une constante (remarquer que g vérifie une identité
analogue, où p est remplacé par pn; faire tendre n vers +a, et en déduire que g'(x) =
Ji g'(t) 4.
c) Conclure de b) que la fonction I' est la seule fonction ayant une dérivée continue pour
x > 0 , vérifiant l'équation ( 1 ) de V I I , p. 1, et la formule de multiplication (12) de V I I ,
p. 14, pour une valeur de p.
(0
2) Pour tout nombre entier k > 1, on pose Sx =
n-*. Démontrer que, pour - 1 < r 4 1,
la série du second membre étant uniformément convergente dans tout intervalle compact
contenu dans ) - 1, l ) , et absolument convergente pour 1x1 < 1.
3) Soit s un nombre réel fixe; montrer que lorsque t tend vers + co ou vers -a, on a
+ it)l - i 2 . l t y - " e-(n12)ltl
et
4) Soit t un nombre rtel fixe et # O; montrer que lorsque s tend vers + co, on a
(utiliser la relation des compléments).
5) Soit xn la racine de l'équation I"(x) = O appartenant à l'intervalle )-n, - n + 1(.
Montrer que l'on a
1
x n = - n +1
log n +O(-)
(utiliser la relation des compléments et la formule (5) de V I I , p. 12). En déduire que